Didaktik: Begriff Senkrecht < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Skizzieren sie den Begriff "senkrecht zueinander" ohne Winkelmessung einzuführen. |
Ich beschäftige mich momentan u.a. mit der Aufgabe oben. Ich habe mal in einem Geometrieaufgabenbuch nachgesehen, da wird der Begriff Senkrecht durch Falten eingeführt. Gibt es noch eine andere Möglichkeit ohne Winkelmesseung? Also mir fällt sonst keine ein...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Skizzieren sie den Begriff "senkrecht zueinander" ohne
> Winkelmessung einzuführen.
> Ich beschäftige mich momentan u.a. mit der Aufgabe oben.
> Ich habe mal in einem Geometrieaufgabenbuch nachgesehen, da
> wird der Begriff Senkrecht durch Falten eingeführt. Gibt es
> noch eine andere Möglichkeit ohne Winkelmessung? Also mir
> fällt sonst keine ein...
Winkelmessung verboten, Längenmessung aber nicht.
Dann könnte man natürlich so definieren:
Gegeben seien eine Gerade g und ein Punkt P, der
nicht auf g liegt. G sei der auf g liegende Punkt, der
von P den kleinstmöglichen Abstand hat. Dann ist
die Gerade n=PG senkrecht zu g.
Allerdings ist diese Definition für Konstruktionen
praktisch untauglich, da sich die Abstände nur
minimal verändern, wenn ein Punkt von g schon in
der Nähe des "richtigen" Lotfusspunktes ist.
Nun könnte man für eine genauere Methode natür-
lich die übliche Lotkonstruktion mit Zirkel und
Lineal nehmen. Dabei braucht man keine Winkel-
messung, sondern nur drei Hilfskreise bzw. -bögen.
Eine weitere und elegante Möglichkeit wäre eine
Definition mittels des Symmetriebegriffs:
eine Gerade b mit [mm] b\not={a} [/mm] ist senkrecht zu a, falls
sie mit ihrem Spiegelbild bezüglich der Spiegel-
achse a identisch ist. (***)
LG Al-Chwarizmi
Nachtrag:
(***) Diese Definition ist allerdings vom logischen
Standpunkt her betrachtet fragwürdig bzw. unbrauchbar,
falls man zur Definition der Spiegelsymmetrie den
Begriff "senkrecht" benützt hat !
Zweiter Nachtrag:
Mit Falttechnik (mit steifem Papier, das die eukli-
dische Metrik beim Falten beibehält ! - auch hier
gehen also die geometrische Eigenschaften der
Materie in die Voraussetzungen ein, was logisch
nicht so recht sauber ist ...) kann man auch mit
einmaligem Falten einen rechten Winkel erzeugen:
1.) Falte das Blatt entlang einer geradlinigen Kante
(auch dass dies praktisch einigermaßen gelingt,
liegt an den Steifigkeitseigenschaften und an der
ursprünglichen Ebenheit des Papiers !)
2.) Durchbohre das gefaltete Blatt an einer Stelle
mit einer Nadel (z.B. Zirkelspitze).
3.) Falte das Blatt wieder auf und lege durch die
beiden Nadeleinstiche eine Gerade. Diese Gerade
ist zur Faltkante normal (bzw. senk- oder lotrecht etc.)
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| Aufgabe | Aufgabenteil b)
Skizzieren sie, wie im Unterricht die Unterscheidung zwischen "senkrecht zueinander" und "lotrecht" behandelt werden kann. |
Vielen Dank für die Tips zum ersten Teil. Da wäre ich nicht so schnell draufgekommen.
Teil b) Was ist denn überhaupt der Unterschied zwischen den beiden Eigenschaften? Ist es so, dass bei senkrecht, immer zwei Geraden behandelt werden und bei lotrecht spricht man ja eigentlich nur von der Strecke zwischen dem Lotfußpunkt zum Punkt P?
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> Aufgabenteil b)
> Skizzieren sie, wie im Unterricht die Unterscheidung
> zwischen "senkrecht zueinander" und "lotrecht" behandelt
> werden kann.
> Vielen Dank für die Tips zum ersten Teil. Da wäre ich
> nicht so schnell draufgekommen.
>
> Teil b) Was ist denn überhaupt der Unterschied zwischen den
> beiden Eigenschaften? Ist es so, dass bei senkrecht, immer
> zwei Geraden behandelt werden und bei lotrecht spricht man
> ja eigentlich nur von der Strecke zwischen dem Lotfußpunkt
> zum Punkt P?
Für solche sprachlichen Spitzfindigkeiten bin ich nicht
zuständig. Ein Lot, das z.B. ein Maurer dazu benützt,
dass seine Backsteinmauer nicht schief wird, heisst
auch Senkblei. Bei solchen Anwendungen ist also
"lotrecht" = "senkrecht" = "vertikal" = zum Erdmittel-
punkt hin gerichtet.
In der Geometrie haben sich aber diese Begriffe ein
Stück weit verselbständigt, so dass eine Gerade "senk-
recht", "lotrecht", "normal", "rechtwinklig"="orthogonal"
zu einer anderen stehen kann, obwohl keine von beiden
wirklich auch zum Erdmittelpunkt hin gerichtet sein
muss. Für mich macht es kaum Sinn, in der Geometrie
"lotrecht" von "senkrecht" zu unterscheiden. Aber da
werden möglicherweise gewisse Superdidaktiker heftigst
protestieren; mögen sie ... 
LG Al-Chwarizmi
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Nichts gegen die "Faltgeometrie" als möglichen
Zugang zu gewissen geometrischen Konzepten.
Als eigentliche Begründung für geometrische
Definitionen taugt sie aber wohl nicht, weil man
sich bei dieser "Origametrie" (das Wort existiert
noch nicht einmal bei Google !) unausgesprochen
auf physikalisch-geometrische Eigenschaften
des verwendeten (ebenen und steifen, also
Metrik-erhaltenden) Papiers stützt.
Man kann natürlich auch andere physikalische
Realisierungen von geometrischen Konzepten
in ähnlicher Weise kritisieren: Wie kann ich
z.B. wissen, ob der Winkel zwischen den beiden
Schenkeln eines Zirkels sowie deren Längen sich
wirklich nicht ändern, während ich den Bogen AB
um den Kreismittelpunkt M zeichne ?
LG Al-Chw.
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