Die Höhe der Pyramiden < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Di 15.06.2004 | | Autor: | Sunniey |
Hi ihr,
ich hätte da mal ein Frage und zwar:
wie leitet man diese Formeln her?? Is sehr wichtig:
e²=a²+a²
e²=2a²
und
h²+(e durch 2)²=s²
h²=s²-(e durch 2)²
h=Wurzel s²-e² durch 4
Würde mich über eine antwort freuen!
MFG Sunniey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Di 15.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sunniey
Willkommen im Matheraum! 
> Hi ihr,
> ich hätte da mal ein Frage und zwar:
> wie leitet man diese Formeln her?? Is sehr wichtig:
> e²=a²+a²
> e²=2a²
>
> und
>
> h²+(e durch 2)²=s²
> h²=s²-(e durch 2)²
> h=Wurzel s²-e² durch 4
>
zunächst einmal: es wäre schön, wenn du zu deinen Formeln jeweils angeben würdest, was die einzelnen Buchstaben bedeuten. Denn wenn du erwartest, dass dir geholfen wird, so erwarten wir andererseits auch eine klare Frage, ohne sehr viel Zeit investieren zu müssen, bis wir alles mühevoll interpretiert haben.
Ich nehme an, dass es sich bei den Pyramiden um solche mit quadratischem Grundriss handelt. Ferner nehme ich an, dass mit $a$ eine Seite des Grundquadrates gemeint ist, im Weiteren mit $e$ eine Diagonale des Grundquadrates, mit $s$ eine Kante von einer Ecke des Grundquadrates zur Spitze der Pyramide und mit $h$ die Höhe der Pyramide.
Ich hoffe, dass du den Satz des Pythagoras kennst, wonach im rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
Und genau mit diesem Pythagoras werden deine Formeln hergeleitet:
[mm] $e^{2} [/mm] = [mm] a^{2}+a^{2}$
[/mm]
oder, was dasselbe ist wie
[mm] $e^{2} [/mm] = [mm] 2*a^{2}$
[/mm]
Dazu zeichnest du am besten die Pyramidengrundfläche, also ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ auf ein Blatt Papier und zeichnest eine Diagonale $e$ ein. Die Seiten $a$, $a$ und $e$ bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck mit den zwei Katheten $a$ und nochmals$a$ und der Hypotenuse $e$. Wenn du das nun in der Formel des Pythagoras einsetzt, hast du genau deine zwei ersten Formeln.
Nun zu
[mm] $h^{2}+(\bruch{e}{2})^{2}=s^{2}$
[/mm]
Auch diese Formel entstammt aus der Formel des genialen griechischen Mathematikers Pythagoras.
Um das einzusehen, machst du wieder eine Skizze. Diesmal zeichnest du die Pyramide in Vogelperspektive und zeichnest von der Spitze aus die Höhe $h$ ein. Der Höhenfusspunkt liegt genau auf der Mitte der Dioganalen des Grundquadrates, und die Höhe $h$ steht senkrecht auf dem Boden. Somit entsteht durch die Höhe $h$, eine halbe Grundquadratdiagonale und der Pyramidenseite $s$ wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Hier ist $s$ die Hypotenuse, $h$ und eine halbe Diagonale $e$, also [mm] $\bruch{e}{2}$ [/mm] sind die Katheten.
Dies wiederum eingesetzt in der Formel des Pythagoras ergibt deine 3. Gleichung.
Der Pythagoras lässt sich auch so lesen: das Quadrat einer Kathete ist die Differenz zwischen dem Quadrat der Hypotenuse und der anderen Kathete.
In diese Leseart deine Werte eingesetzt, erhältst du deine 4. Formel.
Für die 5. Formel gehe ich rein algebraisch vor:
wir wissen ja:
[mm] $h^{2}=s^{2}-(\bruch{e}{2})^{2}$ [/mm] (deine 4. Formel!)
Einen Bruch quadriert man, indem man Zähler und Nenner einzeln quadriert. Es gilt also:
[mm] $(\bruch{e}{2})^{2}=\bruch{e^{2}}{2^{2}}=\bruch{e^{2}}{4}$
[/mm]
Deine 4. Formel kann also auch so geschrieben werden:
[mm] $h^{2}=s^{2}-\bruch{e^{2}}{4}$
[/mm]
Wenn du auf beiden Seiten die Wurzel ziehst, erhältst du deine 5. Formel (dabei ist zu beachten, dass [mm] $\wurzel{h^{2}}=h$
[/mm]
[mm] $h=\wurzel{s^{2}-\bruch{e^{2}}{4}}$
[/mm]
Damit sind alle Formeln gezeigt!
mit lieben Grüssen
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