Die Menge Q x Q ist abzählbar. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:48 Fr 30.10.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Man beweise :
(a) Die Menge [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar.
(b) Die Menge [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] ist docht in [mm] \IC, [/mm] d.h., die Menge [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] hat die folgende Eigenschaft : zu jedem z [mm] \in \IC [/mm] und jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein w [mm] \in \IQ [/mm] x [mm] \IQ \subset \IC [/mm] so, dass |z - w| < [mm] \vaepsilon.
[/mm]
(c) Die Menge [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IR, [/mm] d.h., die Menge [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] hat die folgende Eigenschaft: zu jedem x [mm] \in \IR [/mm] und jedem [mm] \vaepsilon [/mm] > 0 gibt es ein y [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] so, dass |x - y| < [mm] \vaepsilon. [/mm] |
So, will klein anfangen und mich daher ersteinmal nur auf die (a) beschränken, denn schon das bereitet mir einige Probleme.
Aus der Vorlesung weiß ich, dass wenn [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, dann ist auch [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] abzählbar.
Mein Problem ist jedoch, wie beweise ich denn, dass [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist ? Wie komme ich da drauf, was muss ich machen ? Ich habe zwar meine Mitschrift aus der Vorlesung, werde daraus jedoch nicht richtig schlau. Außerdem will ich das ganze endlich mal verstehen, damit ich irgendwann auch mal eine Aufgabe selbstständig gelöst bekomme.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 30.10.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Man beweise :
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> (a) Die Menge [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] ist abzählbar.
>
> (b) Die Menge [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] ist docht in [mm]\IC,[/mm] d.h., die Menge
> [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] hat die folgende Eigenschaft : zu jedem z [mm]\in \IC[/mm]
> und jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ein w [mm]\in \IQ[/mm] x [mm]\IQ \subset \IC[/mm]
> so, dass |z - w| < [mm]\vaepsilon.[/mm]
>
> (c) Die Menge [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] ist dicht in [mm]\IR,[/mm] d.h., die Menge
> [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] hat die folgende Eigenschaft: zu jedem x [mm]\in \IR[/mm]
> und jedem [mm]\vaepsilon[/mm] > 0 gibt es ein y [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] so,
> dass |x - y| < [mm]\vaepsilon.[/mm]
> So, will klein anfangen und mich daher ersteinmal nur auf
> die (a) beschränken, denn schon das bereitet mir einige
> Probleme.
>
> Aus der Vorlesung weiß ich, dass wenn [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist,
> dann ist auch [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] abzählbar.
>
Woher weißt du das, hattet ihr eventuell einen satz wie z.B. dass die Vereinigung abzählbarer Mengen wiederum abzählbar ist...?
Welche abzählbaren Mengen kennst du denn aus der Vorlesung bisher bisher?
> Mein Problem ist jedoch, wie beweise ich denn, dass [mm]\IQ[/mm]
> abzählbar ist ? Wie komme ich da drauf, was muss ich
> machen ? Ich habe zwar meine Mitschrift aus der Vorlesung,
> werde daraus jedoch nicht richtig schlau. Außerdem will
> ich das ganze endlich mal verstehen, damit ich irgendwann
> auch mal eine Aufgabe selbstständig gelöst bekomme.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Fr 30.10.2009 | | Autor: | jales |
>>Woher weißt du das, hattet ihr eventuell einen satz wie z.B. dass die Vereinigung abzählbarer Mengen wiederum abzählbar ist...?
Welche abzählbaren Mengen kennst du denn aus der Vorlesung bisher bisher? >>
Wir hatten den Satz :
(i) [mm] \IZ [/mm] ist abzählbar,
(ii) [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar,
(iii) Falls A, B abzählbar sind, dann ist A x B abzählbar.
Daraus habe ich geschlossen, dass, wenn wenn [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, dass dann auch [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] abzählbar sein muss.
Diesen Satz haben wir auch bewiesen, doch so ganz versteh ich das nicht, eigneltich ist mir eigentlich alles schleierhaft.
Andere Frage : Da wir den Satz ja bereits in der Vorlesung beweisen haben, kann ich doch ohne großes Beweisverfahren sagen, dass [mm] \IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, aufgrund Satz XY aus der Vorlesung, oder ?
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> >>Woher weißt du das, hattet ihr eventuell einen satz wie
> z.B. dass die Vereinigung abzählbarer Mengen wiederum
> abzählbar ist...?
> Welche abzählbaren Mengen kennst du denn aus der
> Vorlesung bisher bisher? >>
>
> Wir hatten den Satz :
>
> (i) [mm]\IZ[/mm] ist abzählbar,
> (ii) [mm]\IQ[/mm] ist abzählbar,
> (iii) Falls A, B abzählbar sind, dann ist A x B
> abzählbar.
>
> Daraus habe ich geschlossen, dass, wenn wenn [mm]\IQ[/mm] abzählbar
> ist, dass dann auch [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] abzählbar sein muss.
>
> Diesen Satz haben wir auch bewiesen, doch so ganz versteh
> ich das nicht, eigneltich ist mir eigentlich alles
> schleierhaft.
>
> Andere Frage : Da wir den Satz ja bereits in der Vorlesung
> beweisen haben, kann ich doch ohne großes Beweisverfahren
> sagen, dass [mm]\IQ[/mm] x [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist, aufgrund Satz XY aus
> der Vorlesung, oder ?
Naja, dann kommt's jetzt irgendwie drauf an, was
von den in der Vorlesung bewiesenen Sachen ihr
in den Übungen als bekannt voraussetzen dürft.
Vielleicht geht es ja aber darum, dass ihr zeigen
sollt, dass ihr diese Resultate auch locker selber
herleiten könntet.
Da wäre allerdings eine etwas klarere Instruktion
von Seiten der Tutoren/Assistenten wünschenswert.
Auch bei der Aufgabe (b) habe ich mich gefragt,
was genau gemeint ist. Die Behauptung
[mm] \IQ\times\IQ [/mm] ist dicht in [mm] \IC
[/mm]
macht eigentlich nur dann Sinn, falls [mm] \IC [/mm] als Menge
von Paaren reeller Zahlen definiert ist, also eigentlich
[mm] \IC=\IR\times\IR [/mm] . Dabei bleiben die algebraischen Eigenschaften
von [mm] \IC [/mm] natürlich komplett unter dem Tisch.
Eine vernünftigere Formulierung der Aufgabe (b)
wäre also:
Zeige, dass [mm] \IQ\times\IQ [/mm] dicht in [mm] \IR\times\IR [/mm] (mit der
euklidischen Metrik) ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:39 Sa 31.10.2009 | | Autor: | X42.1 |
Folgt aus [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm], dass [mm]\mathbb{Q}[/mm]x[mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm]x[mm]\mathbb{R}[/mm]?
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> Folgt aus [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm], dass
> [mm]\mathbb{Q}[/mm]x[mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm]x[mm]\mathbb{R}[/mm]?
In der Aufgabe geht es wohl darum, genau dies zu
zeigen, unter Zuhilfenahme der Metrik auf [mm] \IR\times\IR,
[/mm]
wie sie in [mm] \IC [/mm] definiert ist. Nehmen wir also ein
beliebiges [mm] z\in\IC [/mm] und ein positives [mm] \varepsilon. [/mm] Zur
komplexen Zahl z gehört das Zahlenpaar
[mm] (x/y)=(Re(z)/Im(z))\in\IR\times\IR
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass es ein Paar [mm] w=(u/v)\in\IQ\times\IQ
[/mm]
gibt mit [mm] d(w,z)<\varepsilon. [/mm] Dabei ist d die gewöhnliche
euklidische Distanz in [mm] \IR^2:
[/mm]
[mm] d(w,z)=\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}
[/mm]
Zum Beweis darfst du wohl verwenden, dass [mm] \IQ [/mm] dicht
in [mm] \IR [/mm] ist, falls dies vorher schon bewiesen wurde.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 01.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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