Dieder- und Quaternionengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Di 18.05.2010 | | Autor: | Ina90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Diedergruppe und die Quaternionengruppe sind (bis auf Isomorphie) die einzigen nicht-abelschen Gruppen der Ordnung 8. |
Kann mir zu der Aufgabe vielleicht jemand einen Tipp geben? Ich habe gehört, dass ich mit den Sylowsätzen arbeiten muss, aber wie, ist mir nicht klar.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 Di 18.05.2010 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen Sie: Die Diedergruppe und die Quaternionengruppe
> sind (bis auf Isomorphie) die einzigen nicht-abelschen
> Gruppen der Ordnung 8.
> Kann mir zu der Aufgabe vielleicht jemand einen Tipp
> geben? Ich habe gehört, dass ich mit den Sylowsätzen
> arbeiten muss, aber wie, ist mir nicht klar.
Sylow sehe ich im Moment nicht, da die beiden Gruppen ja selbst p-Gruppen sind. Außerdem will ich die Nichtisomorphie beweisen, und nicht die Isomorphie von Untergruppen. Aber vielleicht übersehe ich was.
Da die Gruppen nicht abelsch sind, sind sie nicht zyklisch, also brauche ich mindestens 2 erz. Elemente. Für ihre Ordnungen kommen nur 2 oder 4 in Frage. Damit würde ich jetzt mal herumprobieren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo
Ich möchte nur versuchen zu ergänzen :)
Sei also G eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8. Du weisst, dass [mm] g^{4} [/mm] = e [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G, und dass zusätzlich [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] G: [mm] h^{2} \neq [/mm] e. Sind dir diese 2 Aussagen klar?
Gut. Jetzt musst du nur noch 2 Sachen zeigen:
- [mm] g^{2} \in \{e,h^{2}\} [/mm] (Andere Möglichkeiten ausschliessen)
- Die Dieder- und Quaternionengruppe sind nicht isomorph zueinander (Aber das ist quasi trivial, wenn du mit der Ordnung der Elemente arbeitest)
Ich hoffe, das hilft dir weiter!
Grüsse, Amaro
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