Diff. gleichung 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Fr 17.09.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Löse die Gleichung der Differentialgleichung höherer Ordnung.
[mm] y^{``} +6y^{`} [/mm] + 10y = [mm] -2e^{3x} [/mm] * cos (x) |
bei mir kommt zum schluss nicht ganz das gleiche raus wie bei der Lösung..
Also:
[mm] y^{''} +6y^{'} [/mm] + 10y = [mm] -2e^{3x} [/mm] * cos (x)
in 3 Teile..
erst das linke:
[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 6\lambda [/mm] +10= 0
lösen mit pqFormel:
[mm] \lambda1 [/mm] = -3+ [mm] \wurzel{-1} [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] = -3- [mm] \wurzel{-1} [/mm]
[mm] \lambda1=-3+i \lambda2 [/mm] = -3-i
FS= [mm] {e^{-3+i}, e^{-3-i}} [/mm] yn = c1 [mm] e^{-3+i} [/mm] + [mm] c2e^{-3-i}
[/mm]
dann der zweite Teil:
cos(x) = 0 sin (x) + 1* cos(x)
ys1 = Asin(x) + Bcos(x)
ys1´ = Acos(x) -Bsin(x)
ys1´´= -Asin(x) -Bcos(x)
-Asin(x) - B cos(x) + 6Acos(x) - 6B(sin(x) +10Asin(x) +10Bcos(x)
= [mm] \underbrace{sin(x) *9A -sin(x)*6B} [/mm] _{=0} [mm] \underbrace{ - cos(x) * 9B + cos(x) *6A}_{=1}
[/mm]
also:
9A -6B = 0 -9B +6A =1
A= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] einsetzen: B= [mm] -\bruch{1}{5}
[/mm]
A= [mm] -\bruch{2}{9}
[/mm]
damit komme ich aber nicht auf:
y(x)= [mm] e^{-3x} [/mm] * (c1sin(x)+c2(cos(x)) [mm] -\bruch{1}{60}*(sin(x) [/mm] +3cos(x))
kann mir jemand helfen??
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Hallo julmarie,
> Löse die Gleichung der Differentialgleichung höherer
> Ordnung.
>
> [mm]y^{''} +6y^{'}[/mm] + 10y = [mm]-2e^{3x}[/mm] * cos (x)
>
> bei mir kommt zum schluss nicht ganz das gleiche raus wie
> bei der Lösung..
> Also:
>
> [mm]y^{''} +6y^{'}[/mm] + 10y = [mm]-2e^{3x}[/mm] * cos (x)
>
> in 3 Teile..
>
> erst das linke:
>
> [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]6\lambda[/mm] +10= 0
>
> lösen mit pqFormel:
>
> [mm]\lambda1[/mm] = -3+ [mm]\wurzel{-1}[/mm] und [mm]\lambda2[/mm] = -3- [mm]\wurzel{-1}[/mm]
>
> [mm]\lambda1=-3+i \lambda2[/mm] = -3-i
>
> FS= [mm]{e^{-3+i}, e^{-3-i}}[/mm] yn = c1 [mm]e^{-3+i}[/mm] + [mm]c2e^{-3-i}[/mm]
Bzw.
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{-3*x}*\sin\left(x\right)+c_{2}*e^{-3*x}*\cos\left(x\right)[/mm]
>
> dann der zweite Teil:
>
> cos(x) = 0 sin (x) + 1* cos(x)
> ys1 = Asin(x) + Bcos(x)
> ys1´ = Acos(x) -Bsin(x)
> ys1´´= -Asin(x) -Bcos(x)
>
> -Asin(x) - B cos(x) + 6Acos(x) - 6B(sin(x) +10Asin(x)
> +10Bcos(x)
>
> = [mm]\underbrace{sin(x) *9A -sin(x)*6B}[/mm] _{=0} [mm]\underbrace{ - cos(x) * 9B + cos(x) *6A}_{=1}[/mm]
>
> also:
>
> 9A -6B = 0 -9B +6A =1
> A= [mm]\bruch{2}{3}[/mm] einsetzen: B= [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> A= [mm]-\bruch{2}{9}[/mm]
>
> damit komme ich aber nicht auf:
>
> y(x)= [mm]e^{-3x}[/mm] * (c1sin(x)+c2(cos(x)) [mm]-\bruch{1}{60}*(sin(x)[/mm]
> +3cos(x))
Wenn das die Lösung wäre, dann müßte die DGL so lauten:
[mm]y'} +6y' + 10y = C*\sin\left(x\right)+D*\cos\left(x\right)[/mm]
mit [mm]C=-\bruch{363}{20}, \ D=\bruch{538}{20}[/mm]
Lautet die DGL wie oben angegeben, dann macht man für
die partikuläre Lösung den Ansatz:
[mm]yp\left(x\right)=e^{3*x}*\left(A*\sin\left(x\right)+B*\cos\left(x\right)\right)[/mm]
>
> kann mir jemand helfen??
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Sa 18.09.2010 | | Autor: | julmarie |
ok, ich versteh jetzt wie ich auf den ersten Teil komme, also auf:
[mm] y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}\cdot{}\sin\left(x\right)+c_{2}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}\cdot{}\cos\left(x\right)
[/mm]
aber wie soll ich auf
[mm] -\bruch{1}{60}\cdot{}(sin(x) [/mm] + 3cos(x)) kommen mit meiner Rechung???
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Hallo julmarie,
> ok, ich versteh jetzt wie ich auf den ersten Teil komme,
> also auf:
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}\cdot{}\sin\left(x\right)+c_{2}\cdot{}e^{-3\cdot{}x}\cdot{}\cos\left(x\right)[/mm]
>
> aber wie soll ich auf
>
> [mm]-\bruch{1}{60}\cdot{}(sin(x)[/mm] + 3cos(x)) kommen mit meiner
> Rechung???
Entweder ist die Musterlösung falsch,
oder die DGL ist nicht ganz richtig.
Wenn die Störfunktion [mm]\cos\left(x\right)[/mm] lautet,
dann ist zwar Dein Ansatz richtig, aber das daraus erhaltene
lineare Gleichungssystem stimmt nicht.
[mm]9A -6B = 0[/mm]
[mm]-9B +6A =1[/mm]
Diese zweite Gleichung muss so lauten:
[mm]\red{+}9B +6A =1[/mm]
Gruss
MathePower
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