Diff.gleichung allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:37 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
| Aufgabe | | allg. Lösung der Differenzialgleichung: [mm] 2y'-x^2=x^2+y(x) [/mm] |
Wie kann man diese Gleichung am einfachsten Lösen. Ich habe es mit der Substitutionsansatz [mm] u=2x^2 [/mm] +y (x) und anschließend Rücksubstitution versucht komme aber leider nicht zum Ergebnis.
Für Lösungsvorschläge inkl. Rechenweg wäre ich sehr dankbar.
Gruß
Mjay
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Mjay,
> allg. Lösung der Differenzialgleichung: [mm]2y'-x^2=x^2+y(x)[/mm]
> Wie kann man diese Gleichung am einfachsten Lösen. Ich
> habe es mit der Substitutionsansatz [mm]u=2x^2[/mm] +y (x) und
> anschließend Rücksubstitution versucht komme aber leider
> nicht zum Ergebnis.
> Für Lösungsvorschläge inkl. Rechenweg wäre ich sehr
> dankbar.
>
>
> Gruß
> Mjay
die harmonische Lösung hast du schon?
Mache für die partkuläre Lösung einen Polynomansatz [mm]y(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0[/mm]. In deinem Fall muss das Polynom Grad 2 haben. Setze also [mm]y(x)=ax^2+bx+c[/mm] in die DGL ein und bestimme [mm]a,b,c[/mm] mittels Koeffizientenvergleich.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
eine zweite Möglichkeit gibt es auch noch:
wenn Du die homogene Lösung hast:
[mm] $y_h \; [/mm] = [mm] \;C*e^{1/2*x}$
[/mm]
kannst Du "Variation der Konstanten" anwenden:
$y [mm] \; [/mm] = [mm] \;C(x)*e^{1/2*x}$ [/mm] .
Einmal ableiten und in die DGL einsetzen, umformen, integrieren.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> allg. Lösung der Differenzialgleichung: [mm]2y'-x^2=x^2+y(x)[/mm]
> Wie kann man diese Gleichung am einfachsten Lösen. Ich
> habe es mit der Substitutionsansatz [mm]u=2x^2[/mm] +y (x) und
> anschließend Rücksubstitution versucht komme aber leider
> nicht zum Ergebnis.
Doch, das funktioniert ! Die folgende Vorgehensweise ist zwar nicht die übliche Methode eine inhomogene lin. DGL 1. Ordnung zu lösen, funktioniert aber !
1. Substitution: [mm] u=2x^2+y
[/mm]
2. Substitution: v=8x+u
3. Substitution: w=v+16
Rechne das mal durch, dann bekommst Du:
2w'=w.
FRED
> Für Lösungsvorschläge inkl. Rechenweg wäre ich sehr
> dankbar.
>
>
> Gruß
> Mjay
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Hallo Fred Danke für deine Antwort. In allen Bsp. die wir bisher berechnet haben ist eine Substitution notwendig gewesen. Ich habe folgendes ausprobiert und da stimmt irgendwas nicht ! Kanns du es dir bitte kurz anscheuen? Besten Dank!
[mm] 2y'-x^2=x^2+y
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2y'=2x^2+y
[/mm]
Ansatz: [mm] u=2x^2+y [/mm] u'=4x+y' [mm] \Rightarrow [/mm] y'=-4x-u
Einsetzen für 2y' ergibt:
2(-4x+u')=u [mm] \Rightarrow [/mm] -8x+2u'=u umstellen nach u' [mm] \Rightarrow
[/mm]
2u'=u+8x [mm] \Rightarrow [/mm] 2 du/dx=u+8x
2du/u+8x=dx
[mm] 2\integral(du/u+8x) [/mm] = [mm] \integral(dx) [/mm] = 2 ln(u+8x)=x+c :2
ln(u+8x)=x/2 + c
e^ln(u+8x)=e ^x/2 * K [mm] \Rightarrow [/mm] u+8x=e^(x/2)* K danach Rüchsubs.
[mm] 2x^2+y+8x=e^{x/2} [/mm] * K
[mm] \Rightarrow [/mm] y=e^(x/2) * K [mm] -8x-2x^2
[/mm]
Nun die Antwort soll laut Wolframalfa soll
y(x)=K* e^(x/2) -2 [mm] (x^2+4x+8) [/mm] sein.
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred Danke für deine Antwort. In allen Bsp. die wir
> bisher berechnet haben ist eine Substitution notwendig
> gewesen. Ich habe folgendes ausprobiert und da stimmt
> irgendwas nicht ! Kanns du es dir bitte kurz anscheuen?
> Besten Dank!
>
> [mm]2y'-x^2=x^2+y[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2y'=2x^2+y[/mm]
>
> Ansatz: [mm]u=2x^2+y[/mm] u'=4x+y' [mm]\Rightarrow[/mm] y'=-4x-u
>
> Einsetzen für 2y' ergibt:
>
> 2(-4x+u')=u [mm]\Rightarrow[/mm] -8x+2u'=u umstellen nach u'
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> 2u'=u+8x [mm]\Rightarrow[/mm] 2 du/dx=u+8x
Bis hier ists O.K........
>
> 2du/u+8x=dx
........ aber das ist völliger Quatsch und eine Vergewaltigung der Mathematik . Wie kommst Du auf sowas ?
Die DGL 2u'=u+8x kannst Du nicht mit Variablentrennung lösen.
FRED
>
> [mm]2\integral(du/u+8x)[/mm] = [mm]\integral(dx)[/mm] = 2 ln(u+8x)=x+c :2
>
> ln(u+8x)=x/2 + c
>
> e^ln(u+8x)=e ^x/2 * K [mm]\Rightarrow[/mm] u+8x=e^(x/2)* K danach
> Rüchsubs.
>
> [mm]2x^2+y+8x=e^{x/2}[/mm] * K
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y=e^(x/2) * K [mm]-8x-2x^2[/mm]
>
>
> Nun die Antwort soll laut Wolframalfa soll
>
> y(x)=K* e^(x/2) -2 [mm](x^2+4x+8)[/mm] sein.
>
> Was mache ich falsch?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Habe gerade Papula Formelsammlung 10. Auflage Seite 268 unten aufgeschlagen. Also kann ich generell sagen, dass ich die Variablen nur dann trenne kann wenn ich die Form z.B. u-1 habe ? Wie im Bsp. von Papula?
Also wäre u-2x dann gar nicht mehr damit machbar?
Wie geht es ab hier weiter 2du/u+8x=dx ?
Danke
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Habe gerade Papula Formelsammlung 10. Auflage Seite 268
> unten aufgeschlagen. Also kann ich generell sagen, dass ich
> die Variablen nur dann trenne kann wenn ich die Form z.B.
> u-1 habe ?
Unsinn !
> Wie im Bsp. von Papula?
Ja, ja, normalerweise hab ich alle Bücher dieser Welt parat, nur leider heute hab ich ausgerechnet den Papula nicht da.
> Also wäre u-2x dann gar nicht mehr damit machbar?
Wenn eine Dgl die form
u'=f(x)g(u)
hat, kannst Du Variablen trennen.
>
>
> Wie geht es ab hier weiter 2du/u+8x=dx ?
Hab ich doch oben gesagt: in 2u'=u+8x substituiere v=u+8x
FRED
>
>
> Danke
> Gruß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Ja Danke ich hab nun verstanden wann es geht und wann es nicht geht bezüglich u'=f(x)g(u) !
Ich bin nicht so erfahren habe auch nie eine Gleichung gelöst die 2 Mal eine Substitution benötigt. Wenn ich so vorgehe wie du mir beschrieben hast komme ich leider nicht allzu weit.
2u'=U+8x Sub. mit v= u+8x v'=u+8
[mm] \Rightarrow [/mm] 2u'= v ??? und dann!
Danke & Gruß
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Hallo mjay3000,
> Ja Danke ich hab nun verstanden wann es geht und wann es
> nicht geht bezüglich u'=f(x)g(u) !
>
> Ich bin nicht so erfahren habe auch nie eine Gleichung
> gelöst die 2 Mal eine Substitution benötigt. Wenn ich so
> vorgehe wie du mir beschrieben hast komme ich leider nicht
> allzu weit.
>
> 2u'=U+8x Sub. mit v= u+8x v'=u+8
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2u'= v ??? und dann!
>
Nun u' ist auch gemäß der Substitution zu ersetzen:
[mm]v=u+8x \Rightarrow v'=u'+8x \RIghtarrow u'=v'-8x[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]2*\left(v'-8\right)=v \gdw 2v'-16=v \gdw 2v'=v+16[/mm]
>
> Danke & Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Ich Danke Dir ich komme nun viel weiter :)
Habe allerdings Probleme auf den Schritt u'=v'-8x zu kommen.
Hast bei diesem Term U'+8xu'=v'-8x nach u' umgestellt?oder wie?
Danke
Gruß
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Hallo mjay3000,
> Ich Danke Dir ich komme nun viel weiter :)
> Habe allerdings Probleme auf den Schritt u'=v'-8x zu
> kommen.
> Hast bei diesem Term U'+8xu'=v'-8x nach u' umgestellt?oder
> wie?
>
Hier ist der Folgepfeil verlorengegangen.
Richtig muss es heissen:
[mm]v'=u'+8x \Rightarrow u'=v'-8x [/mm]
>
> Danke
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 15.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Hi,
Danke nochmal ich denke hab zuviel gerechnet heute komme einfach nicht drauf :(
v= u+ 8x daraus v'= u' + 8x*u'
Wie machst du aus v'=u'8x*u' plötzlich v'=u'+8x ???!
besten Dank
Gruss
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Hallo mjay3000,
> Hi,
>
> Danke nochmal ich denke hab zuviel gerechnet heute komme
> einfach nicht drauf :(
>
> v= u+ 8x daraus v'= u' + 8x*u'
> Wie machst du aus v'=u'8x*u' plötzlich v'=u'+8x ???!
>
Wir haben die Substitution v=u+8x.
Dies wird nach x differenziert und ergibt v'=u'+8.
>
> besten Dank
> Gruss
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Do 16.02.2012 | | Autor: | mjay3000 |
Moin,
Danke also ist die Ableitung von v=u+8x einfach v'=u'+8 dementsprechend
ist u'=v'-8 und nicht u'=v'-8x*u'!
Die Aufgabe habe ich nun so gelöst:
[mm] 2y'-x^2=x^2+y
[/mm]
[mm] 2y'=2x^2+y \Rightarrow u=2x^2+y \Rightarrow [/mm] u'=4x+y' [mm] \Rightarrow [/mm] y'=u'-4x
2(u'-4x)=u [mm] \Rightarrow [/mm] 2u'-8x=u [mm] \Rightarrow [/mm] 2u'=u+8x
2u'=u+8x v=u+8x [mm] \Rightarrow [/mm] v'=u'+8 u'= v'-8
[mm] \Rightarrow [/mm] 2(v'-8)=v =2v'-16=v [mm] \Rightarrow [/mm] 2v'=v+16
[mm] \integral [/mm] 2v'/dx= [mm] \integral [/mm] v+16
[mm] \integral [/mm] 2v'/v+16 = [mm] \integral [/mm] dx
[mm] \Rightarrow [/mm] 2*ln(v+16)=x :2
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(v+16)=x/2
e^ln(v+16)=e^(x/2)+C
[mm] \Rightarrow [/mm] v+16=e^(x/2)*k für v einsetzten ergibt [mm] v=2x^2+y+8x
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2x^2+y+8x+16=e^{x/2}*k
[/mm]
y=e^(x/2)* k [mm] -2x^2-8x-16
[/mm]
Die Lösung stimmt nun mit dem von Wolframalfa überein.
Gruß und besten Dank nochmal an EUCH ALLEN :)
bis bald Mjay
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