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Forum "Differentiation" - Diff'barkeit f(x) in x0
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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Do 08.01.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Ist die folgende Funktion in [mm] f(x_0)=0 [/mm] diff'bar?
[mm] f(x)=exp(\bruch{-1}{x^2}) [/mm]

Also zunächst habe ich geprüft ob die Defintionslücke in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ergänzbar ist:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}exp(\bruch{-1}{x^2})=exp(-\infty)=0 [/mm] (durch [mm] x^2 [/mm] haben links- sowie rechtsseitiger Grenzwert gleiche Vorzeichen)

Also ist f(x) in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ergänzbar.

Jetzt würde ich eigentlich mit dem Differentialquotienten weitermachen:

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{(x_0+\Delta x)^2})-exp(\bruch{-1}{x_0})}{\Delta x} [/mm]

[mm] =\limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{(\Delta x)^2})-0}{\Delta x} [/mm]

und jetzt habe ich doch eigentlich einen unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder?


Danke und Gruß
tedd

        
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Diff'barkeit f(x) in x0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Do 08.01.2009
Autor: fred97

Ja



Wie machst Du wohl weiter ??

FRED

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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Do 08.01.2009
Autor: tedd

Normalerweise würde ich L'Hospital/Bernoulli anwenden aber wie soll ich den Zähler ableiten, wenn ich nicht weis ob dieser in [mm] x_0=0 [/mm] diff'bar ist?

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Diff'barkeit f(x) in x0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Do 08.01.2009
Autor: fred97

Du brauchst doch nur die Ableitung außerhalb des Nullpunktes !!!!!!

FRED

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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Do 08.01.2009
Autor: tedd

uhh klar....


Also

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\Delta x}\underbrace{=}_{\bruch{0}{0}}\limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})*\bruch{2*\Delta x}{\Delta x^4}}{1}=\limes_{\Delta x\rightarrow 0}exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})*\bruch{2}{\Delta x^3}=0*\infty [/mm]

Jetzt habe ich auch schon probiert den durch den kehrwert zu teilen und dann nochmal L'Hospital/Bernoulli anzuwenden aber da komme ich denke ich zu keinem Ergebnis...

Also:

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\bruch{\Delta x^3}{2}} [/mm] bzw

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{\Delta x^3}{2}}{\bruch{1}{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}} [/mm] ergibt wieder unbestimmte Ausdrücke

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Diff'barkeit f(x) in x0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Do 08.01.2009
Autor: leduart

Hallo
was weisst du denn über [mm] x^n*e^{-x^2} [/mm] n fest, x gegen [mm] \infty? [/mm]
Gruss leduart

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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Do 08.01.2009
Autor: tedd


> Hallo

Hi!

>  was weisst du denn über [mm]x^n*e^{-x^2}[/mm] n fest, x gegen
> [mm]\infty?[/mm]

[mm] \underbrace{x^n}_{\infty}*\underbrace{e^{-x^2}}_{0} [/mm] ?
Was wieder ein unbestimmter Ausdruck wäre... hmm

>  Gruss leduart


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Diff'barkeit f(x) in x0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Do 08.01.2009
Autor: leduart

Hallo
a) man weiss und darf verwenden: die e-fkt steigt stärker als jede Potenz von x.
b) man kennt die Taylorreihe von [mm] e^x [/mm]
c) man wendet L'Hopital auf [mm] x^n/e^x [/mm] oder [mm] x^n/e^{x^2} [/mm] an.
Gruss leduart

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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Do 08.01.2009
Autor: tedd

Wenn ich L'Hospital/Bernoulli n-mal auf

[mm] \bruch{x^n}{e^x} [/mm] anwende kommt 0 raus:
Zähler wird 1 und Nenner bleibt [mm] e^x [/mm]

Aber wie hilft mir das jetzt bei meiner Aufgabe weiter?

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Diff'barkeit f(x) in x0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Do 08.01.2009
Autor: angela.h.b.


> Wenn ich L'Hospital/Bernoulli n-mal auf
>  
> [mm]\bruch{x^n}{e^x}[/mm] anwende kommt 0 raus:
>  Zähler wird 1 und Nenner bleibt [mm]e^x[/mm]

Hallo,

der Zähler wird zwar nicht 1  (leite [mm] x^5 [/mm]  fünfmal ab), aber die 0 stimmt trotzdem.

Gruß v. Angela



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Diff'barkeit f(x) in x0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Do 08.01.2009
Autor: leduart

Hallo
statt x gegen 0 in [mm] e^{-1/x^2}/x [/mm] kannst du z gegen unendlich für z=1/x
Gruss leduart

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Diff'barkeit f(x) in x0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Do 08.01.2009
Autor: tedd

Au backe!

Also:

[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{exp(\bruch{-1}{\Delta x^2})}{\Delta x^3} [/mm]

[mm] z=\bruch{1}{\Delta x} [/mm]

Wenn x gegen 0 geht, geht z gegen unendlich.

[mm] \limes_{z \rightarrow \infty}exp(-z^2)*z^3 [/mm]

[mm] =\limes_{z \rightarrow \infty}\bruch{z^3}{exp(z^2)} [/mm]

[mm] =\limes_{z \rightarrow \infty}\bruch{6}{2*exp(z^2)+4*z^2*exp(z^2)}=0 [/mm] ...

Ich hoffe so stimmt es jetzt
Danke vielmals für die Hilfe an alle! :-)

Besten Gruß,
tedd

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Diff'barkeit f(x) in x0: Ableitungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Do 08.01.2009
Autor: Loddar

Hallo tedd!


Das Ergebnis am Ende stimmt. Aber ich kann hier nicht nachvollziehen, wie Du jeweils in Zähler und Nenner ableitest.

Nach zweimaliger Behandlung durch Herrn de l'Hospital erhalte ich:
$$... \ = \ [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{3}{4z*\exp\left(z^2\right)} [/mm] \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


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Diff'barkeit f(x) in x0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 So 11.01.2009
Autor: tedd

stimmt, die Ableitung war falsch.
Danke für die Hilfe nochmal und besten Gruß,
tedd :-)

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