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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} [/mm] ist gegeben durch [mm] f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2} [/mm] für [mm] (x,y)\neq(0,0) [/mm] und f(0,0)=0.
Zeige: f ist in (0,0) stetig. Alle Richtungsableitungen existieren in (0,0). Ist f in (0,0) auch differenzierbar? |
Hallo,
also Stetigkeit habe ich bereits geschafft. Für den Teil mit den Richtungsableitungen: Muss ich da einfach zeigen, dass [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{1}{h}\cdot [f(0+h,0)-f(0,0)] [/mm]und entsprechendes für die Ableitung nach y existiert?
Was mache ich mit der Differenzierbarkeit in (0,0)? Muss ich da nur zeigen, dass:
[mm]\underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{1}{h} [f(0+h,0+h)-f(0,0)][/mm] existiert?
Gruß Sleeper
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Hallo (non-sleeping) Sleeper,
> Die Funktion [mm]f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}[/mm] ist
> gegeben durch [mm]f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}[/mm] für [mm](x,y)\neq(0,0)[/mm]
> und f(0,0)=0.
> Zeige: f ist in (0,0) stetig. Alle Richtungsableitungen
> existieren in (0,0).
> Ist f in (0,0) auch differenzierbar?
> Stetigkeit habe ich bereits geschafft. Für den Teil
> mit den Richtungsableitungen: Muss ich da einfach zeigen,
> dass [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{1}{h}\cdot [f(0+h,0)-f(0,0)] [/mm]und
> entsprechendes für die Ableitung nach y existiert?
Das wären dann zwei von insgesamt [mm] \infty [/mm] vielen möglichen
Richtungsableitungen und kann ohne zusätzliche
Argumentation sicher nicht genügen.
> Was mache ich mit der Differenzierbarkeit in (0,0)? Muss
> ich da nur zeigen, dass:
> [mm]\underset{h\rightarrow 0}{lim} \frac{1}{h} [f(0+h,0+h)-f(0,0)][/mm]
> existiert?
Und dies wäre sogar nur eine einzige Richtungsableitung
(in 45°-Richtung), noch mit einem Faktor versehen.
Was zu zeigen wäre, ist:
[mm]\underset{k\rightarrow 0}{\underset{h\rightarrow 0}{lim}} \frac{1}{h*k} [f(0+h,0+k)-f(0,0)][/mm] existiert.
LG Al-Chw.
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Ok ich zeige also
> [mm]\underset{k\rightarrow 0}{\underset{h\rightarrow 0}{lim}} \frac{1}{h*k} [f(0+h,0+k)-f(0,0)][/mm]
> existiert.
>
Dann habe ich gezeigt, dass alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren. Aber ist f dann in (0,0) auch differenzierbar? Was muss ich dazu untersuchen/zeigen?
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 04.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 04.06.2009 | | Autor: | kevini |
Die ersten beiden Teile sind nicht weiter schwer, ihr solltet aber die Definition von "Richtungsableitung" genau beachten, insbesondere sollte es nicht zu Verwechslungen mit partiellen Ableitungen kommen. Ich habe mir überlegt, dass ihr mit euren Mitteln die Differenzierbarkeit von f auf mindestens zwei unterschiedliche Weisen überprüfen könnt. Die erste ist sehr nah an der Definition orientiert. Diese Variante möchte ich euch ans Herz legen, da ihr euch dazu genau mit der Definition 6.1 und Satz 6.4 auseinandersetzen müsst, was eine gute und wichtige Übung ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Was zu zeigen wäre, ist:
>
> [mm]\underset{k\rightarrow 0}{\underset{h\rightarrow 0}{lim}} \frac{1}{h*k} [f(0+h,0+k)-f(0,0)][/mm]
> existiert.
Hallo Al,
damit bin ich nicht einverstanden ! Zu Zeigen ist:
[mm] $\limes_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(h,k)-f(0,0) -gradf(0,0)*(h,k)}{\wurzel{h^2+k^2}} [/mm] = 0$
Was bei der obigen Funktion nicht der Fall ist, sie ist also in (0,0) nicht differenzierbar.
FRED
FRED
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> LG Al-Chw.
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Wir haben totale Diff.barkeit so definiert: $f : U [mm] \longrightarrow \mathbb{R} [/mm] $ heißt vollständig (oder total) differenzierbar im Punkt [mm] $x^0 [/mm] = [mm] (x_1^0,\ldots, x_n^0)$ $\in [/mm] U$, wenn es Abbildung [mm] A:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] gibt und [mm] \exists \delta>0: [/mm]
[mm] \begin{displaymath}f(x^0+h) = f (x^0) + A\cdot h+ r(h) \quad \forall h : \Vert h \Vert < \delta\;, \end{displaymath}
[/mm]
und [mm] r:B(0,\delta)\rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] mit [mm] \begin{displaymath}\lim_{ h\rightarrow 0} \, \frac{r(h)}{\Vert h\Vert} = 0\;. \end{displaymath}
[/mm]
Wie kann ich aber mit genau dieser Definition zeigen, dass f in (0,0) nicht diffbar ist? Ich muss ja zeigen, dass es eben eine solche Abbildung A nicht gibt. Wenn ich dann bilde:
[mm] f((0,0)+(h_1,h_2) [/mm] dann erhalte ich [mm] =\frac{h_{1}^3}{h_{1}^2+h_{2}^2}. [/mm] Wie ich jetzt allerdings die Definition ins Spiel bringe, weiß ich leider nicht. (???)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Deiner obigen Funktion f:
Du hast sicher auch gelernt: wenn f in (0,0) diff.bar ist, dann ist obige lineare Abb. gegeben durch
$A*h = gradf(0,0)*h$
Wenn also f in (0,0) diff.bar sein sollte, so muß gelten:
$ [mm] \limes_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(h,k)-f(0,0) -gradf(0,0)\cdot{}(h,k)}{\wurzel{h^2+k^2}} [/mm] = 0 $
Da $gradf(0,0) = (0,0)$ und $f(0,0) = 0$, müsste im Differenzierbarkeitsfall gelten:
$ [mm] \limes_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\bruch{f(h,k)}{\wurzel{h^2+k^2}} [/mm] = 0 $
Das ist abetr nicht der Fall, wie man für $h = k > 0$ sieht
FRED
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