Diffbarkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Fr 17.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Untersuche die Funktionen f und g in dem Intervall [mm] [-\pi, \pi] [/mm] mit
[mm] f(x)=e^{-x}sinx [/mm] und [mm] g(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<0 \\ cosx, & x\ge 0 \end{cases}
[/mm]
auf Diff'barkeit, lokale und globale Extrema und beschreibe das Monotonieverhalten. |
Hallo und guten Abend,
ich bins nochmal.
erstmal zu f(x):
Ich wollte nun, um zu zeigen, dass die Funktion in dem Intervall diffbar ist, gucken, ob der Limes für x gegen die Intervallgrenzen existiert.
also:
[mm] \limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{f(x)-f(-\pi)}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{e^{-x}sinx-e^{\pi}sin(-\pi)}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{e^{-x}sinx}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{sinx}{e^xx+e^x\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{cosx}{e^x+e^xx+e^x\pi}=-e^\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist in [mm] x=-\pi [/mm] diff'bar.
[mm] \limes_{x\rightarrow(\pi)} \bruch{f(x)-f(-\pi)}{x-\pi}=
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow(\pi)} \bruch{cosx}{e^x+e^xx-e^x\pi}=\bruch{-1}{e^\pi}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist in [mm] x=\pi [/mm] diff'bar, und somit als Kombination diffbarer Funktionen auf dem Intervall diffbar.
Vielleicht kan mir ja erstmal jemand sagen ob das bis hier hin überaupt richtig ist?
Vielen Dank schonmal!
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[Kommentar zum Fehler s.u. und ausführlich in meiner Mitteilung vom 19.12.]
Hallo Peter I.
> Untersuche die Funktionen f und g in dem Intervall [mm][-\pi, \pi][/mm]
> mit
> [mm]f(x)=e^{-x}sinx[/mm] und [mm]g(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<0 \\ cosx, & x\ge 0 \end{cases}[/mm]
>
> auf Diff'barkeit, lokale und globale Extrema und beschreibe
> das Monotonieverhalten.
> Hallo und guten Abend,
> ich bins nochmal.
> erstmal zu f(x):
>
Ich weiß ja nicht, was ihr voraussetzen dürft, aber hier dreht es sich um das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, und die bleibt überall differenzierbar.
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HIER FEHLERBEGINN:
AUßER natürlich an den Intervallgrenzen, d.h. wenn du jetzt die Ableitung bildest, existiert die (sowohl für f als auch für g) NUR auf dem offenen Intervall [mm] (-\pi; \pi) [/mm] (bzw. [mm] ]-\pi; \pi[ [/mm] - ich kenne eure Schreibweise dafür nicht).
<HIER MEIN KURZKOMMENTAR>
Momentan ist die Frage für mich eher ungeklärt - aber meine Aussage, dass die Funktion dort NICHT differenzierbar ist, kann man tatsächlich eher als falsch auslegen. Allerdings glaube ich (begründet in meiner Mitteilung) auch nicht, dass sie dort differenzierbar ist.
Kurz:
PRO differenzierbar: Differenzenquotient existiert immer, weil man ihn ja nur aus Richtung des Intervalls bilden KANN, also ist sie dort differenzierbar
KONTRA: Eben weil man nur aus Richtung des Intervalls kommen kann, ist eine vernünftige Aussage über Differenzierbarkeit an dieser Stelle nicht möglich. Anschaulich könnte man sich vorstellen, dass die Funktion hinter den Intervallgrenzen irgendwie fortgesetzt würde und je nachdem, wie diese Fortsetzung aussieht, wäre die Funktion an dieser Stelle diffbar oder eben nicht. (Aber das ist nur Anschauung - denn die Funktion ist ja am Intervallrand zuende.)
Mein Fazit: Wenn es mathematisch korrekt ist, dem PRO-Argument oben zu folgen, dann ist meine Ansicht falsch.
Von daher wäre es toll, wenn jemand hier sein Fachwissen einbringen könnte.
VIELEN DANK!!!!
</KOMMENTAR>
FEHLERENDE
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> Ich wollte nun, um zu zeigen, dass die Funktion in dem
> Intervall diffbar ist, gucken, ob der Limes für x gegen
> die Intervallgrenzen existiert.
>
> also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{f(x)-f(-\pi)}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{e^{-x}sinx-e^{\pi}sin(-\pi)}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{e^{-x}sinx}{x+\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{sinx}{e^xx+e^x\pi}=\limes_{x\rightarrow(-\pi)} \bruch{cosx}{e^x+e^xx+e^x\pi}=-e^\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist in [mm]x=-\pi[/mm] diff'bar.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow(\pi)} \bruch{f(x)-f(-\pi)}{x-\pi}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow(\pi)} \bruch{cosx}{e^x+e^xx-e^x\pi}=\bruch{-1}{e^\pi}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist in [mm]x=\pi[/mm] diff'bar, und somit als
> Kombination diffbarer Funktionen auf dem Intervall
> diffbar.
>
> Vielleicht kan mir ja erstmal jemand sagen ob das bis hier
> hin überaupt richtig ist?
Wie gesagt, ich kenne jetzt deine Voraussetzungen nicht, weiß also nicht, ob du meinen obigen Kommentar schon umsetzen darfst, aber ich würde hier erwarten, dass du ausschließlich die "Klebestelle" der zweiten Funktion untersuchen musst. Aber die ist da nicht mal stetig, also erst recht nicht differenzierbar. Oder von mir aus bilde die beiden "Teilableitungen" und schau da nach, dass sogar die Steigung von links und von rechts betrachtet unterschiedlich ist.
> Vielen Dank schonmal!
Und für den Rest heißt es: Ableitungen bestimmen und die genau anschauen bzw. umformen (für die Monotonie) und ein bisschen rechnen (für die Extrema - wobei das hier auch alles nicht so schwer ist).
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 18.12.2010 | | Autor: | stffn |
Guten Abend!
Dass die Funktion an sich als Produkt differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist, würde zwar als Begründung reichen, aber ich dachte das Verhalten in den Intervallgrenzen ist entscheidend.
Ich dachte, es kommt darauf an, ob die Funktion für x gegen [mm] -\pi [/mm] bzw [mm] \pi [/mm] Grenzwerte besitzt oder nicht.
Aber wenn das so einfach damit begründet werden kann, dass alle Funktionen, die auf einem geschlossenen Intervall definiert sind an ihren Grenzen nicht diffbar sind (was ja auch Sinn zu machen scheint), dann kann ich das natürlich auch so sagen.
Ich bleibe mal noch bei f:
Hier könnte ich doch zuerst den Satz von Min. & Max. anwenden, d.h. auf einem geschlossenen Intervall gibt es schonmal an den beiden Grenzen jeweils ein Extremum...?
Aber was mache ich, um zu gucken, ob es dazwischen auch noch eins gibt? Wenn ich die mir bekannte Methode anwenden möchte und erstmal die Ableitung normal bestimme, komme ich auf folgende Gleichung:
[mm] 0=\bruch{cosx-sinx}{e^x}.
[/mm]
Das ist nicht lösbar. Kann ich jetzt daraus ableiten, dass in [mm] x=-\pi [/mm] ein globales Minimum und in [mm] x=\pi [/mm] ein globales Maximum ist?
Und daraus wiederum, dass f monoton wachselnd ist?
Danke für die Hilfe, einen schönen Abend wünsche noch!
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Huhu,
> Dass die Funktion an sich als Produkt differenzierbarer
> Funktionen differenzierbar ist, würde zwar als Begründung
> reichen, aber ich dachte das Verhalten in den
> Intervallgrenzen ist entscheidend.
ich muss da meinem Vorposter mal widersprechen.
> Ich dachte, es kommt darauf an, ob die Funktion für x
> gegen [mm]-\pi[/mm] bzw [mm]\pi[/mm] Grenzwerte besitzt oder nicht.
Genau so ist es.
> Aber wenn das so einfach damit begründet werden kann,
> dass alle Funktionen, die auf einem geschlossenen Intervall
> definiert sind an ihren Grenzen nicht diffbar sind (was ja
> auch Sinn zu machen scheint), dann kann ich das natürlich
> auch so sagen.
Nein, die Aussage ist falsch.
Dein Vorgehen ist völlig korrekt, auch wenn man es sehr schnell abkürzen kann.
f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar und damit insbesondere auch im Intervall [mm] $[-\pi,\pi]$.
[/mm]
Dein Vorgehen ist ok, aber nur ein wenig mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Aber Übung hat ja bekanntlich noch niemandem geschadet 
> Ich bleibe mal noch bei f:
> Hier könnte ich doch zuerst den Satz von Min. & Max.
> anwenden, d.h. auf einem geschlossenen Intervall gibt es
> schonmal an den beiden Grenzen jeweils ein Extremum...?
Korrekt.
> Aber was mache ich, um zu gucken, ob es dazwischen auch
> noch eins gibt? Wenn ich die mir bekannte Methode anwenden
> möchte und erstmal die Ableitung normal bestimme, komme
> ich auf folgende Gleichung:
>
> [mm]0=\bruch{cosx-sinx}{e^x}.[/mm]
Sieht gut aus 
> Das ist nicht lösbar. Kann ich jetzt daraus ableiten, dass
> in [mm]x=-\pi[/mm] ein globales Minimum und in [mm]x=\pi[/mm] ein globales
> Maximum ist?
Warum sollte das nicht lösbar sein? Das ist offensichtlich Null für
[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \sin(x)$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:57 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> AUßER natürlich an den Intervallgrenzen, d.h. wenn du
> jetzt die Ableitung bildest, existiert die (sowohl für f
> als auch für g) NUR auf dem offenen Intervall [mm](-\pi; \pi)[/mm]
wie kommst du denn darauf?
Die Funktions ist natürlich auch an den Intervallgrenzen differenzierbar.
Der Grenzwert dort existiert und damit bleibt die Funktion differenzierbar!
MFG,
Gono.
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Das kann man meiner Meinung nach so und so sehen.... meine Aussage gründet auf dem Prinzip "Ich kann an diesen Stellen keine Aussage darüber treffen, weil ich nicht weiß, was außerhalb des Definitionsbereichs passiert, weil dort 'nichts' ist."
Also in etwa so:
f aus diesem Beispiel hier ist eigentlich auf ganz $ [mm] \IR [/mm] $ definierbar und ist dort stetig, differenzierbar, also alles und überall.
Jetzt wird durch Einschränkung des Definitionsbereichs auf ein Intervall in $ [mm] \IR [/mm] $ eine neue Funktion f_neu definiert. Im Innern des Intervalls ist das alles völlig klar, da ändert sich nichts. Die Nicht-Existenz eines "äußeren" Bereichs kann man meiner Ansicht nach nun auf zwei Arten betrachten:
1. Ich muss nur schauen, dass der Differentialquotient existiert, wenn ich mich aus Intervallseite annähere - denn aus der anderen Richtung KANN ich garnichts betrachten, also kann es dort auch nicht schief gehen.
2. Ich weiß nichts über den Rand, weil ich dazu auch von außen kommen können müsste. Wenn ich aber über den Rand nichts weiß, dann kann ich auch nichts über die dortige Differenzierbarkeit aussagen.
So gesehen ist damit auch meine Aussage der Nicht-Differenzierbarkeit falsch, denn an dieser Stelle kann ich die Eigenschaft der Differenzierbarkeit nicht betrachten.
Was meine Entscheidung stützt:
In den analytischen Bereichen der Mathematik wird meiner Meinung nach immer alles nur auf offenen Umgebungen gemacht. Warum?
Was meine Entscheidung ins Wanken bringt:
Beweise, z.B. der Nicht-Differenzierbarkeit von $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ bei 0.
Insofern finde ich deine Korrektur zwar durchaus angebracht, aber inhaltlich ("Natürlich sind die da differenzierbar") kann ich dir nicht so uneingeschränkt zustimmen.
Aber falls ich trotzdem noch daneben liege und man tatsächlich vernünftige Differenzierbarkeitsaussagen auf Gebietsrändern machen kann, wäre ich für eine Aufklärung dankbar - ich will ja auch schlauer sterben als ich jetzt bin .
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 So 19.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das kann man meiner Meinung nach so und so sehen.... meine
> Aussage gründet auf dem Prinzip "Ich kann an diesen
> Stellen keine Aussage darüber treffen, weil ich nicht
> weiß, was außerhalb des Definitionsbereichs passiert,
> weil dort 'nichts' ist."
>
> Also in etwa so:
> f aus diesem Beispiel hier ist eigentlich auf ganz [mm]\IR[/mm]
> definierbar und ist dort stetig, differenzierbar, also
> alles und überall.
> Jetzt wird durch Einschränkung des Definitionsbereichs
> auf ein Intervall in [mm]\IR[/mm] eine neue Funktion f_neu
> definiert. Im Innern des Intervalls ist das alles völlig
> klar, da ändert sich nichts. Die Nicht-Existenz eines
> "äußeren" Bereichs kann man meiner Ansicht nach nun auf
> zwei Arten betrachten:
> 1. Ich muss nur schauen, dass der Differentialquotient
> existiert, wenn ich mich aus Intervallseite annähere -
> denn aus der anderen Richtung KANN ich garnichts
> betrachten, also kann es dort auch nicht schief gehen.
>
> 2. Ich weiß nichts über den Rand, weil ich dazu auch von
> außen kommen können müsste. Wenn ich aber über den Rand
> nichts weiß, dann kann ich auch nichts über die dortige
> Differenzierbarkeit aussagen.
>
> So gesehen ist damit auch meine Aussage der
> Nicht-Differenzierbarkeit falsch, denn an dieser Stelle
> kann ich die Eigenschaft der Differenzierbarkeit nicht
> betrachten.
>
> Was meine Entscheidung stützt:
> In den analytischen Bereichen der Mathematik wird meiner
> Meinung nach immer alles nur auf offenen Umgebungen
> gemacht.
Das stimmt doch nicht ! Sei I ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] I.
f heißt in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert
(*) [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
existiert ( und gehört zu [mm] \IR).
[/mm]
Ist [mm] x_0 [/mm] ein Randpunkt von I (falls I solche besitzt), so ist ist der Grenzwert in (*) als einseitiger Grenzwert zu verstehen.
FRED
> Warum?
>
> Was meine Entscheidung ins Wanken bringt:
> Beweise, z.B. der Nicht-Differenzierbarkeit von [mm]\wurzel{x}[/mm]
> bei 0.
>
> Insofern finde ich deine Korrektur zwar durchaus
> angebracht, aber inhaltlich ("Natürlich sind die da
> differenzierbar") kann ich dir nicht so uneingeschränkt
> zustimmen.
>
> Aber falls ich trotzdem noch daneben liege und man
> tatsächlich vernünftige Differenzierbarkeitsaussagen auf
> Gebietsrändern machen kann, wäre ich für eine
> Aufklärung dankbar - ich will ja auch schlauer sterben als
> ich jetzt bin .
>
> lg weightgainer
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Alles klar, wenn sich alles auf diese Definition stützt, dann ist meine Aussage falsch (wie von mir schon gesagt).
Ich hab mich davon in die Irre leiten lassen, dass man in der Diffrechnung i.d.R. auf offene Intervalle geht (wenn man denn Intervalle hat) und auch davon, dass man optisch gesehen halt über das Intervall rausdenken kann und dann hat man am Randpunkt eben ganz oft keine Differenzierbarkeit.
Danke für das Korrigieren und die schnelle Begründung!!!
lg weightgainer
p.s. Die Untersuchung der Randpunkte ist dann aber in diesem Fall hier ebenfalls Unsinn, denn die Funktionen sind ja sogar auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar, also nach obiger Definition dann natürlich auch auf jeder Einschränkung (es sind ja "echte" Randpunkte).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 19.12.2010 | | Autor: | stffn |
Sehr schön, interessante Diskussion.
Trotzdem bin ich mir jetzt nicht ganz sicher- ....
f(x) ist auf dem definierten Intervall differenzierbar, weil sie als Prdukt 2er diff'barer Funktionen auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist und das Intervall in [mm] \IR [/mm] liegt.
Ist das jetzt Begründung genug? Oder MUSS ich jetzt noch zeigen, dass der Grenzwert für x gegen die Intervallgrenzen (aus dem Intervall) existiert?
Dann mach ich jetzt mal g(x), da wäre es nett wenn nochmal jemand eine Korrektur vornehmen könnte:
Ich untersuche also als erstes die Nahtstelle [mm] x_{0}=0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\uparrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x}=\limes_{x\uparrow0}\bruch{x^2+2x-3}{x}\underbrace{=}_{l'Hospital}\limes_{x\uparrow0}\bruch{2x+2}{1}=2
[/mm]
[mm] \limes_{x\downarrow0}\bruch{cosx-cos0}{x}=\limes_{x\downarrow0}\bruch{cosx-1}{x}\underbrace{=}_{l'Hospital}\limes_{x\downarrow0}\bruch{-sinx}{1}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion g(x) ist in [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht differenzierbar.
Für die Intervalle [mm] [-\pi,0[ [/mm] und [mm] ]0,\pi] [/mm] ist g differenzierbar (?!).
Extrema:
[mm] g'(x)_{x<0}=2x+2
[/mm]
0=2x+2 [mm] \gdw [/mm] x=-1
[mm] g''(x)_{x<0}=2 \Rightarrow [/mm] Minimum bei x=-1
[mm] g'(x)_{x\ge 0}=-sinx
[/mm]
0=-sinx [mm] \gdw [/mm] x=0
[mm] g''(x)_{x\ge 0}=-cosx=-1 \Rightarrow [/mm] Maximum bei x=0
[mm] g(-\pi)\approx [/mm] 0,59
g(-1)=-4
[mm] g(\pi)=-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) hat ein lokales Minimum bei [mm] x=\pi [/mm] und ein globales Minimum bei x=-1.
Ein lokales Maximum bei [mm] x=-\pi [/mm] und ein globales Maximum bei x=0.(*)
Also ist g(x) monoton fallend in den Intervallen
[mm] I_{1}=[-\pi,-1] [/mm] und [mm] I_{2}=[0,\pi]
[/mm]
und monoton wachsend in
[mm] I_{3}=[-1,0[.
[/mm]
(*) Irgendwie ist das ein bisschen widersprüchlich, weil ich ja eigentlich gesagt habe, dass g in [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht differenzierbar ist (und nicht stetig).
Aber dann mache ich wiederum eine Ableitung und bekomme für x=0 ein maximum raus.
Wie macht man das denn in diesem Fall?
Einen schönen Sonntag noch, stffn.
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Huhu,
> Sehr schön, interessante Diskussion.
> Trotzdem bin ich mir jetzt nicht ganz sicher- ....
> f(x) ist auf dem definierten Intervall differenzierbar,
> weil sie als Prdukt 2er diff'barer Funktionen auf ganz [mm]\IR[/mm]
> differenzierbar ist und das Intervall in [mm]\IR[/mm] liegt.
> Ist das jetzt Begründung genug? Oder MUSS ich jetzt noch
> zeigen, dass der Grenzwert für x gegen die
> Intervallgrenzen (aus dem Intervall) existiert?
Nein, musst du nicht. Das ergibt sich aus der Definition der Differenzierbarkeit.
Da f auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist, existiert der Grenzwert auch an den Intervallgrenzen, insbesondere also der einseitige, den du betrachtest.
> Dann mach ich jetzt mal g(x), da wäre es nett wenn
> nochmal jemand eine Korrektur vornehmen könnte:
>
> Ich untersuche also als erstes die Nahtstelle [mm]x_{0}=0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\uparrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x}=\limes_{x\uparrow0}\bruch{x^2+2x-3}{x}\underbrace{=}_{l'Hospital}\limes_{x\uparrow0}\bruch{2x+2}{1}=2[/mm]
Huhu, es gilt doch $f(0) [mm] \not= [/mm] 0$, wo ist also dein f(0) im ersten Ausdruck hin ?
> [mm]\limes_{x\downarrow0}\bruch{cosx-cos0}{x}=\limes_{x\downarrow0}\bruch{cosx-1}{x}\underbrace{=}_{l'Hospital}\limes_{x\downarrow0}\bruch{-sinx}{1}=0[/mm]
Das stimmt wieder.
Aber auch hier wieder zu umständlich. Es wurde doch bereits darauf hingewiesen, dass die Funktion in 0 nichtmal stetig ist, warum dann überhaupt noch auf Differenzierbarkeit prüfen?
> Extrema:
>
> [mm]g'(x)_{x<0}=2x+2[/mm]
> 0=2x+2 [mm]\gdw[/mm] x=-1
> [mm]g''(x)_{x<0}=2 \Rightarrow[/mm] Minimum bei x=-1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]g'(x)_{x\ge 0}=-sinx[/mm]
hier muss es heissen: [mm] $g'(x)_{x>0}$ [/mm] da g' bei x=0 gar nicht existiert!
> 0=-sinx [mm]\gdw[/mm] x=0
> [mm]g''(x)_{x\ge 0}=-cosx=-1 \Rightarrow[/mm] Maximum bei x=0
Wie soll denn die zweite Ableitung existieren, wenn die Funktion bei x=0 nichtmal eine erste Ableitung hat????
Was ist mit [mm] $x=\pi$ [/mm] ? Das ist auch eine Nullstelle...
> (*) Irgendwie ist das ein bisschen widersprüchlich, weil
> ich ja eigentlich gesagt habe, dass g in [mm]x_{0}=0[/mm] nicht
> differenzierbar ist (und nicht stetig).
Korrekt.
> Aber dann mache ich wiederum eine Ableitung und bekomme
> für x=0 ein maximum raus.
Du weißt, die erste Ableitung hat keine Nullstelle in [mm] $(0,\pi]$, [/mm] aber du kennst doch das Monotonieverhalten auf dem gesamten Intervall!
D.h. kritische Stellen sind alle diejenigen, an denen $g'(x) = 0$ gilt sowie alle Randpunkte und Unstetigkeitsstellen.
Macht in der Summe 4 Punkte, die du untersuchen musst.
> Wie macht man das denn in diesem Fall?
Händisch untersuchen! Wie oben beschrieben.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 So 19.12.2010 | | Autor: | stffn |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 19.12.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | | Sorry für den leeren post! |
> Huhu, es gilt doch $ f(0) [mm] \not= [/mm] 0 $, wo ist also dein f(0) im ersten
> Ausdruck hin ?
Klar. Die +3 habe ich einfach mal unterschlagen.
Aber dann sage ich einfach, dass g in [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht stetig und damit auch nicht diff'bar ist. Dann brauche ich das ja eh nicht.
So. Und g(0) ist dann auch keine Extremstelle, weil g'(x) dort nicht definiert ist.
Ok, [mm] \pi [/mm] ist natürlich auch eine Nullstelle von g'(x). Also ist [mm] x=\pi [/mm] ein lokales Maximum.
Zusammenfassend habe ich dann folgende Extremstellen:
[mm] x_{1}=-\pi [/mm] (lokales Maximum)
[mm] x_{2}=-1 [/mm] (globales Minimum)
[mm] x_{3}=\pi [/mm] (lokales Minimum)
und folgendes Monotonieverhalten:
fallend in:
[mm] I_{1}=[-\pi,-1]
[/mm]
[mm] I_{2}=]0,\pi]
[/mm]
wachsend in:
[mm] I_{3}=]-1,0[.
[/mm]
Sag mir bitte dass das jetzt stimmt:)
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Hallo stffn,
> Sorry für den leeren post!
> > Huhu, es gilt doch [mm]f(0) \not= 0 [/mm], wo ist also dein f(0)
> im ersten
> > Ausdruck hin ?
>
> Klar. Die +3 habe ich einfach mal unterschlagen.
> Aber dann sage ich einfach, dass g in [mm]x_{0}=0[/mm] nicht stetig
> und damit auch nicht diff'bar ist. Dann brauche ich das ja
> eh nicht.
>
> So. Und g(0) ist dann auch keine Extremstelle, weil g'(x)
> dort nicht definiert ist.
>
> Ok, [mm]\pi[/mm] ist natürlich auch eine Nullstelle von g'(x). Also
> ist [mm]x=\pi[/mm] ein lokales Maximum.
Hier meinst Du wohl eher ein "lokales Minimum".
>
> Zusammenfassend habe ich dann folgende Extremstellen:
>
> [mm]x_{1}=-\pi[/mm] (lokales Maximum)
> [mm]x_{2}=-1[/mm] (globales Minimum)
> [mm]x_{3}=\pi[/mm] (lokales Minimum)
>
> und folgendes Monotonieverhalten:
>
> fallend in:
> [mm]I_{1}=[-\pi,-1][/mm]
> [mm]I_{2}=]0,\pi][/mm]
>
> wachsend in:
> [mm]I_{3}=]-1,0[.[/mm]
>
> Sag mir bitte dass das jetzt stimmt:)
>
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 19.12.2010 | | Autor: | stffn |
sehr schön.
Danke für eure Hilfe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Do 06.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
etwas spät... ich weiß... aber eine Frage habe ich dazu:
x=0 ist keine Extremstelle, weil sie nicht differenzierbar ist?
Aber g(x)=cos(x) ist doch für [mm] x\ge0 [/mm] definiert! Warum gilt sie dann nicht als Extremstelle? Nur weil g(x) aus diesen beiden Funktionen zusammengesetzt ist und [mm] x^{2}+2x-3 [/mm] ist nicht für x=0 definiert?
Trotz dessen es für den cos(x) geht, ja? Habe ich das richtig verstanden?
Danke schon mal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Do 06.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch mal die fkt, die hat bei x=0 von rechts her ne waagerechten Verlauf, springt aber für x<0 direkt auf -3. da sie bei x=0 größer ist als an allen anderen benachbarten Stellen, kann man von einem lokalen max sprechen, aber nicht weil g_=0 ist, denn wäre [mm] f=x^2+2x+3 [/mm] dann wäre es auch kein lokales max.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Do 06.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Also kann man von einem Supremum sprechen? Und es auch als Solches angeben?
Habe mir die Funktion schon im TR zeichnen lassen und weiß ja auch was Du meinst! Ich persönlich würde es aber schon als lokales Maximum innerhalb des Intervalls angeben wollen, da es ja nicht auszuschließen ist.
Oder sehe ich das so falsch?
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Huhu,
es ist ja auch ein lokales Maximum und wird auch so bezeichnet.
Aber du kannst es nicht mit der normalen Methode ausrechnen, sondern musst es als Sprungstelle gesondert untersuchen.
Genausogut hätte dort kein lokales Maximum vorliegen können.
Bspw, wenn man die Funktion leicht abändert in:
$ [mm] g(x)=\begin{cases} x^2+2x+3, & x<0 \\ cosx, & x\ge 0 \end{cases} [/mm] $
Deine Untersuchungen laufen genauso, aber bei $x=0$ liegt kein lokales Maximum vor!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:42 Do 06.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Ach so! Aber nur, weil die "erste" Funktion für x=0 nicht definiert ist, ja?
Oder eher weil die Funktion nicht stetig ist und es ja dann - ganz simpel formuliert - nach links in Richtung - [mm] \infty [/mm] nicht weiter geht, sondern nach unten zu -3 springt und somit ja auch kein stetiges Monotonieverhalten vorliegt. Also gebe ich dieses lokale Maximum besser nicht an oder in Klammern und schreibe einen Text dazu!?
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Naja, es kommt ein bisschen auf die Aufgabenstellung an (die vielleicht in einem der Posts hier steht, die ich aber jetzt gerade nicht gesehen habe).
Wenn die Aufgabe heißt "Bestimmen Sie alle Extremstellen!", dann musst du selbstverständlich auch alle Extremstellen angeben, die du findest. Die Frage ist nur, WIE du sie findest:
1. Für diffbare Bereiche von Funktionen lernt man dazu den Weg über Ableitungen, Vorzeichenwechselkriterium etc. Mit diesen Hilfsmitteln kannst du für diese Bereiche die Extrema finden.
2. Was du damit noch nicht rausgefunden hast, sind die Extrema, die sich an nicht diffbaren Stellen oder am Rand des Intervalls befinden. Die musst du anders herausfinden (im Normalfall sind das nur ein paar wenige Stellen, die du dann halt einfach in die Funktion einsetzt und schaust, was sie "in der Nähe davon" macht).
Einfaches Beispiel ohne Lücken: $f(x) = [mm] x^{2}$ [/mm] auf dem Intervall $[-1;1]$
Über den Ableitungsformalismus bekommst du das lokale Minimum bei $(0/0)$.
Über die Untersuchung der Randstellen bekommst du zwei lokale Maxima bei $(-1/1)$ und $(1/1)$.
Einfaches Beispiel mit "Lücke": $f(x) = [mm] \begin{cases} x+1 & \mbox{fuer } -5 \le x \le 0 \\ x^{2} & \mbox{fuer } 0
Untersuchung mit Ableitungen liefern für $x [mm] \le [/mm] 0$ keine Extremstellen, für x>0 ebenfalls keine.
Die Untersuchung der Randstellen gibt ein lokales Minimum bei $(-5/-4)$ sowie ein lokales Maximum bei $(5/25)$.
Bleibt noch die Untersuchung für $x=0$. Es ist $f(0) = 1$ und wenn du jetzt in die Umgebung davon schaust, sind alle Funktionswerte kleiner, also ist dort auch noch ein lokales Maximum.
lg weightgainer
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