Diffbarkeit und Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 31.12.2009 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Ist die Funktion f : [0,1[ [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}, & \mbox{für } x \not= 1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x = 1 \end{cases}
[/mm]
in x = 1 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(1). |
So, die Aufgabe ist ja eig. nicht schwer. Will nur mal nachfragen, ob ich alles richtig gemacht habe.
Für die Stetigkeit in x=1:
[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}=(L'Hospital)\limes_{x\rightarrow1} \bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{1}=\bruch{1}{2}. [/mm] also in x=1 stetig.
[mm] f'(1)=(\bruch{1}{2})'=0 [/mm] (Edit: diese Zeile einfach nicht beachten, nur blödsinn aufgeschrieben)
reicht das so? oder muss ich noch:
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2}, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 1
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2} [/mm] usw machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 31.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Ist die Funktion f : [0,1[ [mm]\to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}, & \mbox{für } x \not= 1 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x = 1 \end{cases}[/mm]
>
> in x = 1 differenzierbar? Ermitteln Sie ggf. f'(1).
> So, die Aufgabe ist ja eig. nicht schwer. Will nur mal
> nachfragen, ob ich alles richtig gemacht habe.
> Für die Stetigkeit in x=1:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}=(L'Hospital)\limes_{x\rightarrow1} \bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{1}=\bruch{1}{2}.[/mm]
> also in x=1 stetig.
>
> [mm]f'(1)=(\bruch{1}{2})'=0[/mm]
Wie kommst du denn darauf??
>
> reicht das so? oder muss ich noch:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2},[/mm]
> x [mm]\not=[/mm] 1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2}[/mm]
> usw machen?
Hallo,
es ist [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1} [/mm] nach der dritten binomischen Formel gleich [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1}.
[/mm]
Mit der Festlegung f(1)=0,5 wurde die Definitionslücke des ersten Term stetig geschlossen; du kannst damit für das Ermitteln der ersten Ableitung den einfacheren Funktionsterm [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1} [/mm] ableiten.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Do 31.12.2009 | | Autor: | johnyan |
mit [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1} [/mm] hätte ich
[mm] (\bruch{1}{\wurzel{x}+1})'=\bruch{-\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{(\wurzel{x}+1)^2}
[/mm]
dann x=1 einsetzen:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{(1+1)^2}=-\bruch{1}{8}
[/mm]
das geht ja schnell, was ist, wenn ich diesen einfachen weg nicht sofort sehe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 31.12.2009 | | Autor: | abakus |
> mit [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+1}[/mm] hätte ich
>
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{x}+1})'=\bruch{-\bruch{1}{2*\wurzel{x}}}{(\wurzel{x}+1)^2}[/mm]
>
> dann x=1 einsetzen:
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{(1+1)^2}=-\bruch{1}{8}[/mm]
>
> das geht ja schnell, was ist, wenn ich diesen einfachen weg
> nicht sofort sehe?
Dann dauert es länger 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Do 31.12.2009 | | Autor: | johnyan |
hmm, ist nicht nur länger bei mir, wie mache ich denn bei
[mm] \bruch{\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x}}\cdot{}(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2}=\bruch{-x+2*\wurzel{x}-1}{2*\wurzel{x}(x-1)^2}
[/mm]
weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Do 31.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht ganz, wie du auf deinen ausdruck kommst fuer
(f(x)-1/2)/(x-1)
aber wenn du ihn hast geht wieder L'Hopital, ich glaub 2 mal.
gruss leduart
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> Hallo
> ich seh nicht ganz, wie du auf deinen ausdruck kommst fuer
> (f(x)-1/2)/(x-1)
Hallo leduart,
das war gar nicht dieser Differenzenquotient, sondern
schon die Ableitung (mittels Quotientenregel). Der
Grenzwert dieser Ableitung (die für x=1 nicht definiert
ist), sollte auch zum richtigen Ableitungswert für die
stetig ergänzte Funktion führen.
Lieben Gruß und einen guten Start ins neue Jahr !
Al
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> hmm, ist nicht nur länger bei mir, wie mache ich denn bei
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{x}}\cdot{}(x-1)-(\wurzel{x}-1)}{(x-1)^2}=\bruch{-x+2*\wurzel{x}-1}{2*\wurzel{x}(x-1)^2}[/mm]
>
> weiter?
Nun, das wird halt leider etwas unangenehm. Du
könntest z.B. feststellen, dass man den Zähler
faktorisieren kann (binomische Formel) und
dann z.B. die Substitution [mm] u:=\sqrt{x}-1 [/mm] versuchen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 31.12.2009 | | Autor: | johnyan |
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{\wurzel{1+h}-1}{h}-\bruch{1}{2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2*\wurzel{1+h}-2-h}{2h^2}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+h}-1}}{4h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{-\bruch{1}{2}*(1+h)^{-\bruch{3}{2}}}{4}=-\bruch{1}{8}
[/mm]
so steht das in der lösung, aber ich check den das überhaupt nicht, wo kommt denn h her?
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[mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{\wurzel{1+h}-1}{h}-\bruch{1}{2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{2*\wurzel{1+h}-2-h}{2h^2}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{\wurzel{1+h}-1}}{4h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{-\bruch{1}{2}*(1+h)^{-\bruch{3}{2}}}{4}=-\bruch{1}{8}[/mm]
>
> so steht das in der lösung, aber ich check den das
> überhaupt nicht, wo kommt denn h her?
Hello John,
irgendwie hüpfst du zwischen den verschiedenen möglichen
Lösungswegen hin und her.
Ich habe dir, um deinen angefangenen Lösungsweg weiter
zu verfolgen, die Substitution $ [mm] u:=\sqrt{x}-1 [/mm] $ empfohlen.
Damit könntest du eigentlich recht leicht zum Ziel kommen.
Nun greifst du aber wieder auf einen anderen Lösungsweg
zurück, bei welchem eine andere Substitution, nämlich
h=x-1 verwendet wird; dann ist ja x=1+h .
Nun ist es an dir, einen der möglichen Wege zu wählen
und diesen dann bis zu einem Ergebnis weiter zu beschreiten.
Ich würde mal sagen, dass der Weg mit meiner vorgeschla-
genen Substitution $ [mm] u:=\sqrt{x}-1 [/mm] $ der einfachere ist.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 31.12.2009 | | Autor: | johnyan |
sorry, dass ich das so verwirrend gemacht habe. ich habe bei meinem Weg auch das richtige Ergebnis bekommen. ist aber schon recht langwierig.
[mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{-x+2\cdot{}\wurzel{x}-1}{2\cdot{}\wurzel{x}(x-1)^2}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow1}\bruch{-x+2x^{\bruch{1}{2}}-1}{2*x^{\bruch{1}{2}}*(x^2-2x+1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow1}\bruch{-x+2x^{\bruch{1}{2}}-1}{2*x^{\bruch{5}{2}}-4*x^{\bruch{3}{2}}+2*x^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] =(L'Hospital)=\limes_{x\rightarrow1}\bruch{-1+x^{-\bruch{1}{2}}}{5*x^{\bruch{3}{2}}-6*x^{\bruch{1}{2}}+x^{-\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] =(L'Hospital)=\limes_{x\rightarrow1}\bruch{-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}}{7,5*x^{\bruch{1}{2}}-3*x^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{1}{2}1^{-\bruch{3}{2}}}{7,5*1^{\bruch{1}{2}}-3*1^{-\bruch{1}{2}}-\bruch{1}{2}1^{-\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-0,5}{7,5-3-0,5}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{8}
[/mm]
wollte danach nur nochmal nachfragen, wie das in der lösung gemacht wurde, weil da kein wort stand, sondern nur genau das, was ich im letzten beitrag geschrieben habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 01.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Ganz allgemein: nochmal die Definition der Differenzierbarkeit:
f heißt in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
existiert. Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so heißt obiger Grenzwert die Ableitung in [mm] x_0 [/mm] und wird mit [mm] f'(x_0) [/mm] bezeichnet.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Fr 01.01.2010 | | Autor: | johnyan |
Vielen Dank Fred! Wo ich die Definition der Differentierbarkeit wieder sehe, konnte ich mir die Lösung herleiten, also die Musterlösung mit der Substitution h=x-1 und dann zweimal L'Hospital anwenden. Jetzt ist alles klar. Frohes neues Jahr!
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