Diffeomorphismen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Do 07.06.2007 | | Autor: | Coco84 |
| Aufgabe | Die Sphäre [mm] S^{2} \subset \IR^{3}, [/mm] gegeben durch [mm] x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 [/mm] kann durch stereographische Porjektion fast vollständig auf die Ebene abgebildet werden. Sei also [mm] \pi1: S^{2}- [/mm] {N} [mm] \to \IR^{2} [/mm] diese Projektion, die einen Punkt p=(x,y,z) der Sphäre [mm] S^{2} [/mm] ohne den Nordpol N=(0,0,2) auf den Schnittpunkt der xy-Ebene mit der Geraden, die N und p verbildet, abbildet. Sei weiterhin (u,v)= [mm] \pi1(x,y,z), [/mm] wobei (x,y,z) [mm] \in S^{2}- [/mm] {N} und (u,v) [mm] \in [/mm] xy-Ebene.
a) Zeige, dass [mm] \pi1^{-1}: \IR^{2} \to S^{2} \subset \IR [/mm] den Punkt (u,v) auf ( 4u/ [mm] u^{2}+v^{2}+4, [/mm] 4v/ [mm] u^{2}+v^{2}+4, 2(u^{2}+v^{2})/ u^{2}+v^{2}+4) [/mm] abbildet.
b) Zeige, dass durch zwei stereographische Projektionen ein Atlas der Sphäre bestimmt ist, dh dass [mm] S^{2} [/mm] lokal (nämlich auf [mm] S^{2}- [/mm] {N} und auf [mm] S^{2}- [/mm] {S}) durch Abbildungen [mm] \gamma [/mm] i:= [mm] \pi i^{-1}, [/mm] i=1, 2 beschrieben ist und dass diese [mm] C^{1}-verträglich [/mm] sind.
Für die [mm] C^{1}-Verträglichkeit [/mm] muss man zeigen, dass [mm] f:=\pi2 \circ \pi 1^{-1} [/mm] auf [mm] \pi [/mm] 1( [mm] S^{2}- [/mm] {N, S} [mm] \subset \IR^{2} [/mm] bzw g:= [mm] \pi1 \circ \pi 2^{-1} [/mm] auf [mm] \pi [/mm] 2( [mm] S^{2}- [/mm] {N, S}) Diffeomorphismen sind, wobei S:= (0,0,0). Zeige hier nur, dass f Diffeomorphismus ist. |
Hallo zusammen!
zu a) Hier habe ich zuerst versucht die Umkehrfunktion von [mm] \pi [/mm] zu erstellen, habe aber dann Probleme diese auf den Punkt abzubilden. Ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie man vorgehen muss.
zu b) Da hier zu zeigen ist, dass f ein Diffeomorphismus ist, muss ich ja zeigen, dass f stetig und differenzierbar ist. Allerdings bin ich mir auch hier nicht sicher, wie ich die ganzen Nebeninformationen, die gegeben sind, mit in den Beweis bringen kann.
Ich würde mich freuen, wenn jemand meine Fragen beantworten würde bzw ein paar Tipps oder Hinweise hätte, wie ich daran gehen kann.
Vielen Dank
Coco
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a) geht doch wie in der Schule: Gleichung der Geraden durch die Punkte [mm]N = (0,0,2)[/mm] und [mm]q = (u,v \, [,0])[/mm] aufstellen und die Gerade mit der Sphäre [mm]x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1[/mm] schneiden. Das ergibt zwei Schnittpunkte: der eine ist von vorneherein klar, nämlich [mm]N[/mm], der andere ist der gesuchte Punkt [mm]p = \pi_1^{\, -1}(q)[/mm] auf der Sphäre.
Und ganz analog kann man übrigens [mm]\pi_1[/mm] selbst finden. Das Ergebnis ist
[mm](u,v) = \pi_1(x,y,z) = \left( \frac{2x}{2 - z} \, , \, \frac{2y}{2 - z} \right)[/mm]
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