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| Aufgabe | a) Es bezeichne [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] die euklidische Norm auf [mm] \IR^n [/mm] für gegebenes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei B := [mm] \{u \in \IR^n : \parallel u \parallel < 1 \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] \Phi [/mm] : B [mm] \to \IR^n [/mm] , [mm] \Phi [/mm] (u) = [mm] \bruch{u}{\wurzel{1 - \parallel u \parallel ^2}} [/mm] ein Diffeomorphismus ist.
b) Konstruieren Sie einen Diffeomorphismus [mm] \Phi [/mm] : [mm] (-1,1)^n \to \IR^n [/mm] und zeigen Sie, dass B und [mm] (-1,1)^n [/mm] diffeomorph sind. |
Hallo,
zu a).
Ich muss zeigen, dass [mm] \Phi [/mm] ein Homöomorphismus ist, und sowohl [mm] \Phi [/mm] als [mm] \Phi^{-1} [/mm] stetig differenzierbar sind.
Die Stetigkeit von [mm] \Phi [/mm] folgt, weil jede Komponente stetig ist.
Wie zeige ich, dass [mm] \Phi [/mm] bijektiv ist? Ist es möglich, eine explizite Umkehrabbildung zu finden, oder soll ich mit dem Satz der Umkehrabbildung arbeiten?
zu b)
Hier wäre ich für Tipps/Ansätze dankbar.
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> a) Es bezeichne [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] die euklidische Norm
> auf [mm]\IR^n[/mm] für gegebenes n [mm]\in \IN.[/mm]
> Sei B := [mm]\{u \in \IR^n : \parallel u \parallel < 1 \}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\Phi[/mm] : B [mm]\to \IR^n[/mm] , [mm]\Phi[/mm]
> (u) = [mm]\bruch{u}{\wurzel{1 - \parallel u \parallel ^2}}[/mm] ein
> Diffeomorphismus ist.
>
> b) Konstruieren Sie einen Diffeomorphismus [mm]\Phi[/mm] : [mm](-1,1)^n \to \IR^n[/mm]
> und zeigen Sie, dass B und [mm](-1,1)^n[/mm] diffeomorph sind.
>
> Hallo,
>
> zu a).
>
> Ich muss zeigen, dass [mm]\Phi[/mm] ein Homöomorphismus ist, und
> sowohl [mm]\Phi[/mm] als [mm]\Phi^{-1}[/mm] stetig differenzierbar sind.
>
> Die Stetigkeit von [mm]\Phi[/mm] folgt, weil jede Komponente stetig
> ist.
.... und die stetige Differenzierbarkeit ?
> Wie zeige ich, dass [mm]\Phi[/mm] bijektiv ist? Ist es möglich,
> eine explizite Umkehrabbildung zu finden,
Ja !
Zeige zu jedem v [mm] \in \IR^n [/mm] gibt es genau ein u [mm] \in [/mm] B mit [mm] \Phi(u)=v.
[/mm]
Dazu gib ein v [mm] \in \IR^n [/mm] vor und betrachte die Gl.
(*) [mm]\bruch{u}{\wurzel{1 - \parallel u \parallel ^2}}=v[/mm]
Aus (*) folgt:
[mm]\bruch{||u||}{\wurzel{1 - \parallel u \parallel ^2}}=||v||[/mm]
Diese Gl. löse nach ||u|| auf. Setze das Resultat in (*) ein und berechne u.
Zeige dann, dass u das Gewünschte leistet.
FRED
> oder soll ich mit
> dem Satz der Umkehrabbildung arbeiten?
>
> zu b)
>
> Hier wäre ich für Tipps/Ansätze dankbar.
>
> Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 04.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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