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| Aufgabe | Gegeben Sei die Abbildung [mm] f:\IR^2 \to \IR^2, [/mm] f(x,y)=(x(1-y),xy)
Zeigen Sie, dass f den Streifen [mm] (0,\infty) \times(0,1) [/mm] diffeomorph auf [mm] (0,\infty)^2 [/mm] abbildet. |
hallo,
ich habe im skript diesen satz gefunden:
"Seien U und V o ffene Mengen im [mm] \IR^n [/mm] und f : U [mm] \to [/mm] V stetig di fferenzierbar
und bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] : V [mm] \to [/mm] U. Wenn für jedes
x [mm] \in [/mm] U das Di fferential [mm] df_x [/mm] invertierbar ist, so ist f ein Diff eomorphismus,
d.h. [mm] f^{-1} [/mm] ist auch stetig di erenzierbar und [mm] df^{-1}_{
f (x)} [/mm] = [mm] (df_x )^{-1}"
[/mm]
hilft er mir bei dieser aufgabe weiter?
Soll ich, um die aufgabe zu lösen, das totale differential [mm] df_x [/mm] bestimmen und danach die abbildungsmatrix invertieren?
danke für eure hilfe!
richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 12.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben Sei die Abbildung [mm]f:\IR^2 \to \IR^2,[/mm]
> f(x,y)=(x(1-y),xy)
>
> Zeigen Sie, dass f den Streifen [mm](0,\infty) \times(0,1)[/mm]
> diffeomorph auf [mm](0,\infty)^2[/mm] abbildet.
> hallo,
>
> ich habe im skript diesen satz gefunden:
>
> "Seien U und V o ffene Mengen im [mm]\IR^n[/mm] und f : U [mm]\to[/mm] V
> stetig di fferenzierbar
> und bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] : V [mm]\to[/mm]
> U. Wenn für jedes
> x [mm]\in[/mm] U das Di fferential [mm]df_x[/mm] invertierbar ist, so ist f
> ein Diff eomorphismus,
> d.h. [mm]f^{-1}[/mm] ist auch stetig di erenzierbar und [mm]df^{-1}_{
f (x)}[/mm] = [mm](df_x )^{-1}"[/mm]
>
> hilft er mir bei dieser aufgabe weiter?
>
> Soll ich, um die aufgabe zu lösen, das totale differential
> [mm]df_x[/mm] bestimmen und danach die abbildungsmatrix
> invertieren?
Ja, aber du solltest erst einmal die Voraussetzungen überprüfen, z.B die Bijektivität nachweisen.
Viele Grüße
Rainer
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in einem anderen aufgabenteil zeige ich, dass f nicht injektiv ist.
aber das würde dann bedeuten, dass f auch nicht bijetkiv ist und somit keine diffeomorphe abbildung existiert.
aber damit wäre die schöne aufgabe ja fast hinfällig...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> in einem anderen aufgabenteil zeige ich, dass f nicht
> injektiv ist.
Ich vermute, du zeigst das fuer einen groesseren Definitionsbereich und nicht fuer den gleichen.
Schreib uns doch mal die genaue Aufgabenstellung dort.
LG Felix
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hallo,
Die genaue Aufgabenstellung ist die, die ich hier gepostet habe.
es gibt dann drei teilaufgaben.
in a) soll mand das totale differenzial df berechnen,
in b) (meine frage hier im forum) und
in c) wird gefragt, ob f injetkiv sei
das ist alles!
das komische an der aufgabe ist jetzt nur, dass ich bereits weis, dass f nicht injektiv ist (oder ist diese behauptung falsch?)
ok, aber die aufgabenstellung lässt darauf schließen (zeigen Sie, dass...), dass es eine diffeomorphe abbildung geben muss.
und jetzt bin ich verwirrt.
richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 So 13.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die genaue Aufgabenstellung ist die, die ich hier gepostet
> habe.
>
> es gibt dann drei teilaufgaben.
>
> in a) soll mand das totale differenzial df berechnen,
> in b) (meine frage hier im forum) und
> in c) wird gefragt, ob f injetkiv sei
>
> das ist alles!
>
> das komische an der aufgabe ist jetzt nur, dass ich bereits
> weis, dass f nicht injektiv ist (oder ist diese behauptung
> falsch?)
Schau dir die Aufgabenstellung nochmal genau an.
Da steht: $f : [mm] \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] ...
In c) sollst du zeigen, dass dies nicht injektiv ist (oder eben doch).
In b) sollst du zeigen, dass $f$ eingeschraenkt auf eine Teilmenge von [mm] $\IR^2$ [/mm] ein Diffeomorphismus auf eine gewisse Bildmenge ist.
Da steht nirgendwo, dass du in b) die Funktion auf ganz [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachten sollst.
LG Felix
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hallo felix,
ja du hast recht! Das es teilmengen von [mm] \IR^n [/mm] sind hatte ich übersehen
rainer sagte was von bijetkivität überprüfen
meint er damit, dass ich überprüfen soll,ob die abbildung vom streifen [mm] (0,\infty) \times(0,1)
[/mm]
auf [mm] (0,\infty)^2 [/mm] bijektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 So 13.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> rainer sagte was von bijetkivität überprüfen
>
> meint er damit, dass ich überprüfen soll,ob die abbildung
> vom streifen [mm](0,\infty) \times(0,1)[/mm]
> auf [mm](0,\infty)^2[/mm]
> bijektiv ist?
Genau das meint er.
LG Felix
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