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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 22.04.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | | Hallo Leute! Ich habe mir in letzter Zeit partielle Differentation beigebracht und gesurft, was man damit überhaupt machen kann. Da bin ich auf Gradient, Rotation und Divergenz gestoßen. |
Bei Wiki steht: "Interpretiert man die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion $ h(x, y) $, die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an der Stelle $ (x, y) $ ein Vektor in der x-y-Ebene, der in die Richtung des steilsten Anstiegs von h an dieser Stelle zeigt und dessen Länge ein Maß für die Steilheit (Steigung) ist."
Als Landschaft hab ich dies: ![[]](/images/popup.gif) Landschaft, also [mm] h(x;y)=-\bruch{1}{3}x^3+\bruch{1}{2}x^2+4x-y^3+2y^2+3y+50
[/mm]
Dann muss ich ja die partiellen Ableitungen 1. Ordnung bestimmen: $ [mm] \tfrac{\partial h}{\partial x}=-x^2+x+4\qquad [/mm] und [mm] \qquad \tfrac{\partial h}{\partial y}=-3y^2+4y+3 [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \operatorname{grad}(h) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial h}{\partial y} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-x^2+x+4\\ \\ -3y^2+4y+3 \end{pmatrix} [/mm] $
Und jetzt gibt ich mal eine Stelle an: $ S(3|\ 2) [mm] \Rightarrow \qquad \operatorname{grad}\Big(h(3; 2)\Big) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] $
Stimmt das so? Was bedeutet dieser Vektor nun genau? Heißt das, dass wenn man als Wanderer an dieser Stelle $ S(3|\ 2) $ steht, dass es von $ S(3|\ 2) $ aus in dieser Richtung: $ [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] $ am steilsten bergauf oder bergab geht? Und zwar $ [mm] \left|\left| \vektor{2 \\ 1} \right|\right|=\wurzel{2^2+1^2}=\wurzel{5} [/mm] $ ? Was bedeutet diese Zahl?
Es wäre einfach nur toll, wenn ich mir wieder mal helfen könntet! 
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Stimmt! Du hast richtig differenziert und der Vektor den du herausbekommst weist in die Richtung des steilsten Anstieges. Der Betrag dieses Vektors ist einfach die Steigung in eben diese Richtung. 
Gruß, Strawberry1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 22.04.2012 | | Autor: | Marschal |
also $ m = [mm] \wurzel{5}=\tan(\alpha)\ \iff \alpha \approx 66^{\circ} [/mm] $
Stimmt das auch? Geht es jetzt da bergauf oder bergab? Woran erkennt man das?
PS: danke noch für deine Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 So 22.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marschal,
der Gradient zeigt immer in Richtung steigender Funktionswerte.
Viele Grüße,
Infinit
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