Differentation des Sinus < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 28.10.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Ich versuche, die Sinusfunktion abzuleiten.
Hierzu habe ich zunächst den Differenzenqoutienten von sin(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] aufgestellt:
D(h) = [mm] \bruch{sin(x_{0}+h)-sin(x_{0})}{h}
[/mm]
Wie kann ich den Differenzenqoutient geschickt umformen, so dass Grenzwerte der Summanden existieren?
Danke
zlata
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Hallo,
also das ist ja ne interessante Aufgabe. Ich würde dir empfehlen mal ein bisschen mit den Additionstheoremen herumzuspielen. Dann kannst du auf jeden Fall den Term [mm] sin(x_{0}+h) [/mm] umformen. Vielleicht bringt das ja was.
VG mathmetzsch
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Hi, Zlata,
> D(h) = [mm]\bruch{sin(x_{0}+h)-sin(x_{0})}{h}[/mm]
>
> Wie kann ich den Differenzenqoutient geschickt umformen, so
> dass Grenzwerte der Summanden existieren?
>
Um den Zähler umzuformen, verwenden wir die goniometrische Formel für die Differenz zweier Sinusfkt.:
sin(a) sin(b) = [mm] 2*cos(\bruch{a+b}{2})*sin(\bruch{a-b}{2})
[/mm]
Wenn Du nun a = [mm] x_{0}+h [/mm] und b= [mm] x_{0} [/mm] setzt, kriegst Du:
[mm] \bruch{2*cos(\bruch{2x_{0}+h}{2})*sin(\bruch{h}{2})}{h}
[/mm]
= [mm] 2*cos(\bruch{2x_{0}+h}{2})*\bruch{sin(\bruch{h}{2})}{h}
[/mm]
Nun: Der 1. Faktor (2*cos(...)) geht für h [mm] \to [/mm] 0 gegen 2*cos(x), der 2. Faktor geht gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und somit ist der Grenzwert cos(x).
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zlata!
Ergänzend zu Zwerglein's Antwort hier noch ein kleiner Hinweis zu der Grenzwertbetrachtung, die Zwerglein hier durchgeführt hat:
[mm]2*\cos\left(\bruch{2x_{0}+h}{2}\right)*\bruch{\sin\left(\bruch{h}{2}\right)}{h} \ = \ \cos\left(\bruch{2x_{0}+h}{2}\right)*\bruch{\sin\left(\bruch{h}{2}\right)}{\bruch{h}{2}}[/mm]
Nun betrachten wir mal separat: [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\sin\left(\bruch{h}{2}\right)}{\bruch{h}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{z}\rightarrow 0}\bruch{\sin\left(\red{z}\right)}{\red{z}}$ [/mm] mit $z \ := \ [mm] \bruch{h}{2}$
[/mm]
Und die Ermittlung des Grenzwertes von [mm] $\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z}$ [/mm] kannst Du Dir z.B. mal hier durchlesen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Sa 29.10.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Danke für eine Antworten-
ich denke, jetzt komme ich klar.
Zlata
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