Differentation von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie bei den folgenden Potenzreihen, ob und wo sie differenzierbar sind, wobei x, [mm] x_{0} \in \IR. [/mm] Berechnen Sie ggf. die Ableitung.
[mm] a)\summe_{n=0}^{\infty}n!(x-x_{0})^{n}
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n*2^{n}}
[/mm]
[mm] c)\summe_{n=3}^{\infty}\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}(x-1)^{n} [/mm] |
Sind die nicht alle differenzierbar?
Leitet man Reihen genauso ab wie Funktionen?
Bspw: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n [/mm] ist abgeleitet [mm] \summe_{n=0}^{\infty}1 [/mm] ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Di 10.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
deine Reihen sind doch auch Funktionen, also kannst du diese auch gewöhnlich ableiten. Jedoch ist das Ableiten von beliebigen Funktionenreihen nicht so einfach, weil du ja den Grenzübergang beachten muss und Limesbildung und Differentiation allgemein NICHT vertauschbar sind. Bei Potenzreihen darfst du das aber doch. Dann leitest du das (nach x!) wie eine gewöhnliche Summe ab und behandelst die n wie konstanten.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Also ich habe, dass nun mal so gemacht (hoffe ich :)
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n!(x-x_{0})^{n} [/mm] abgeleitet ist dann [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*n!(x-x_{0})^{n-1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n*2^{n}} [/mm] abgeleitet ist dann [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}*x^{n-1}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=3}^{\infty}\bruch{2n^{4}}{n^{2}-4}(x-1)^{n-1}
[/mm]
und a) ist überall differenzierbar wenn x [mm] \not= x_{0}
[/mm]
b) ist überall differenzierbar
c) ist auch überalle differenzierbar wenn x [mm] \not= [/mm] 1
Stimmen meine Rechnungen??? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 10.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst erst feststellen ob und fuer welche x die Reihen konvergieren! nur dann haben sie Ableitg. und die nur, wenn die abgeleiteten fkt. wieder konverg.!
2. einige deiner Ableitg. sind falsch der Summationsindex 0 stimmt nicht!
3. warum sind fkt an ihren Nullstellen nicht differenzierbar?
Gruss leduart
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Hmm... bin ein bisschen verwirrt? In der Einleitung stand doch dass das x [mm] \in \IR [/mm] ist d.h. doch das x jeden bel. Wert annimmt, oder?
Wie kann ich nachprüfen für welche x diese Reihen konvergieren?
Könnt ihr mir vielleicht ein Beispiel geben?!
Danke
Viele Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Mi 11.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
In der Aufgabe steht, [mm] x,x_0 [/mm] aus [mm] \IR [/mm] aber NICHT dass es fuer alle x konv. sondern die Frage ist OB,und WO.
natuerlich kann man auch Reihen hinschreiben, die nicht konvergieren!
Gruss leduart
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Aber du sagtest doch wenn sie nicht konvergieren dann besitzen sie keine Ableitung also dann sind sie nicht differenzierbar oder?
Bestimme ich diese Konvergenz mit den bekannten Kriterien (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leipnizkriterium) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
Potenzreihen konvergieren auf ihren Konvergenzkreisen und divergieren auserhalb.
Also musst du zuerst den Konvergenzradius bestimmen, was du mit dem Wurzelkriterium machst. Dann leitest du gewöhnlich ab (natürlich musst du die Indizes beachten!!!) Bei der Konvergenz der Ableitung brauchst du dir keine Sorgen mehr zu machen, weil sie auf dem alten Kreis auch konvergiert.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Also ich habe nun das Wurzelkriterium angewendet ... nun habe ich heraus:
a) [mm] \wurzel[n]{n!(x-x_{0})^{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x-x_{0})\wurzel[n]{n!}
[/mm]
b) [mm] \wurzel[n]{\bruch{x^{n}}{n*2^{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{2}\wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
c) [mm] \wurzel[n]{\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}*(x-^)^{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}}*(x-1)
[/mm]
Stimmt das soweit ... aber was heißt das jetzt für meine Deffinitionsmenge, bzw. Differenzierbarkeit welche x sind das jetzt?
Waren dann meine Ableitungen oben richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 11.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo,
Die x, fuer die die Reihen konvergent sind! (du kannst auch das Quotientenkrit. verwenden oder den entspr. Konvergenzradius!
sieh noch mal die Bestimmung von Konvergenzradius an z. Bsp ![[]](/images/popup.gif) hier
oder du musst, wenn ihr das nicht gemacht habt deine GW angucken, und feststellen fuer welche x die konvergieren!
(wenn du Schwierigkeiten damit hast versuch mal x=1 oder andere feste Werte zuerst)
Gruss leduart
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Hmm, aber ich glaube bei der b) habe ich dann doch das richtige Verfahren angewendet und mein Konvergenzradius ist doch dann einfach [mm] \bruch{x}{2 }oder?
[/mm]
Also im Fall x=1 [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und das hat ja dann für alle x einen Konvergenzradius?!
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Hallo Little Studi,
wie kann denn [mm] \frac{x}{2} [/mm] der Konvergenzradius sein? Der Kgzradius ist doch eine feste reelle Zall!!
Du hast die Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}x^n
[/mm]
Berechne mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n2^n}\right|}=k$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] K=\frac{1}{k}, [/mm] dh. die Potenzreihe konvergiert für |x|<K und divergiert für |x|>K
Für |x|=K musste das manuell prüfen mit den üblichen Konvergenzkriterien für "normale" Reihen
Gruß
schachuzipus
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Achso ich darf das [mm] x^{n} [/mm] gar nicht mitreinnehmen ... danke :)
Also dann habe ich das mal so berrechnet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{n*2^{n}}=k
=> \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\bruch{1}{n}}}*2 [/mm] = k da die Wurzel für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0 strebt würde das ganz doch gegen 0 streben somit wäre dann mein K auch 0 oder?
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Hi, leider nein
Es gilt [mm] $\sqrt[n]{n}\rightarrow [/mm] 1$ für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
Der Konvergenzradius bei der Potenzreihe (b) ist also K=2 (bitte nochmal nachrechnen um Verständnis)
Also konvergiert die Potenzreihe für $|x|<2$ und divergiert für $|x|>2$
Für $|x|=2$, also für $x=2$ und $x=-2$ hast du die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}\cdot{}2^n=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}\cdot{}(-2)^n=....
[/mm]
Konvergiert davon die eine oder die andere oder alle beide?
Gruß
schachuzipus
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Also die erste Reihe konvergiert nicht und die zweite nach dem Leipnitzkriterium, wenn ich da nicht auch wieder einen Fehler gemacht habe.
Wenn ich diese Reihe jetzt für |x|<2 ableite kommt dann [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}*x^{n-1} [/mm] heraus?
Denn Konvergenzradius braucht man nur dafür um zu wissen ob überhaupt eine Ableitung existiert oder? Denn bspw. für |x|>2 existieren keine Ableitungen???
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> Also die erste Reihe konvergiert nicht und die zweite nach
> dem Leipnitzkriterium, wenn ich da nicht auch wieder einen
> Fehler gemacht habe. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") haste nicht
>
> Wenn ich diese Reihe jetzt für |x|<2 ableite kommt dann
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}*x^{n-1}[/mm] heraus? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Denn Konvergenzradius braucht man nur dafür um zu wissen ob
> überhaupt eine Ableitung existiert oder? Denn bspw. für
> |x|>2 existieren keine Ableitungen???
Also innerhalb ihres Kgzbereiches ist eine Potenzreihe beliebig oft diffbar - und zwar ganz normal gliedweise.
Wie es außerhalb des Kgzbereiches mit der Diffbarkeit steht, weiß ich im Moment nicht, aber innerhalb, hier also für [mm] -2\le [/mm] x<2 ist die Potenzreihe diffbar mit der von dir angegebenen Ableitung
Gruß
schachuzipus
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Puuhh vielen Dank fü deine Hilfe ... bei den anderen zwei Reihen müsste ich ja jetzt eigentlich analog vorgehen... bin echt erleichtert, dass ich das jetzt verstanden habe :)
Großes Dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die beiden Endpunkte x=2 und x=-2 musst du einzeln auf Konv. untersuchen!
ausserhalb des konv. radius ist die Reihe ja keine fkt. was sollte also ne Ableitung bedeuten?
gruss leduart
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Hallo nochmal... :)
Ich hätte noch eine Frage zu der a) und c)
Ich habe hier auch den Konvergenzradius berechnet:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(n+1)!}{n!})^{-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1} [/mm] = 0 = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] => k = [mm] \infty [/mm] somit gibt es keinen Konvergenzradius, bzw. er ist [mm] \infty. [/mm] Somit kann ich keine Ableitung bilden?
c) habe ich auch das Quotientenkriterium angewendet jedoch komme ich hier nicht richtig weiter.
So weit bin ich gekommen: [mm] \bruch{\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}}{\bruch{2(n+1)^{3}}{(n+1)^{2}-4}} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}*\bruch{(n+1)^{2}-4}{2(n+1)^{3}} [/mm] aber wie kann ich das vereinfach ... oder soll ich es einfach ausmultiplizieren??? Gibt es einen Trick??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieder zu schnell!
> Hallo nochmal... :)
>
> Ich hätte noch eine Frage zu der a) und c)
>
> Ich habe hier auch den Konvergenzradius berechnet:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{(n+1)!}{n!})^{-1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n!}{(n+1)!}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1}[/mm] = 0 =
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] => k = [mm]\infty[/mm] somit gibt es keinen
> Konvergenzradius, bzw. er ist [mm]\infty.[/mm] Somit kann ich keine
> Ableitung bilden?
wenn der Konv.radius [mm] \infty [/mm] WAERE, hiesse das ja es konv. fuer alle x!
sieh die Def. von Konv.radius nach!
> c) habe ich auch das Quotientenkriterium angewendet jedoch
> komme ich hier nicht richtig weiter.
> So weit bin ich gekommen:
Der konv.radius ist ne Formel r=....; kein Kriterium!
[mm]\bruch{\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}}{\bruch{2(n+1)^{3}}{(n+1)^{2}-4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2n^{3}}{n^{2}-4}*\bruch{(n+1)^{2}-4}{2(n+1)^{3}}[/mm]
> aber wie kann ich das vereinfach ... oder soll ich es
> einfach ausmultiplizieren??? Gibt es einen Trick??
1.Bruch durch [mm] n^2 [/mm] teilen (Z und N) zweiten durch [mm] (n+1)^2
[/mm]
Gruss leduart
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Stimmt der Konvergenzradius von a) ???
Also dann bekomme ich bei der c) heraus:
[mm] \bruch{2n}{1-\bruch{4}{n^{2}}} [/mm] * [mm] \bruch{1-\bruch{4}{(n+1)^{2}}{2(n+1)}}
[/mm]
Der erste Bruch strebt gegen [mm] \infty [/mm] und der zweite gegen 0.
Aber was ergibt [mm] \infty [/mm] * 0 ??? 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 12.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ist nicht definiert. Musst du mit l´hospital arbeiten.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Also dann bekomme ich bei c) als Konvergenzradius 0 heraus somit hat diese Reihe keine Ableitung oder?
und bei der a) stimmt es, dass mein Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] ist und er daher für jedes x konvergiert und somit die Ableitung dieser Reihe = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*n!(x-x_{0})^{n-1} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Do 12.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) NEIN und wenn du nicht endlich nachsiehst, was der Konvergenzradius ist, sag ich nix mehr dazu
zu b) hab ich dir wohl nen falschen Tip gegeben. besser ausmultipl. und durch die hoechst Potenz von n dividieren ich glaub [mm] n^5.
[/mm]
auch hier r nachsehen!
Gruss leduart
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Hallo ... :)
Ich hätte noch eine Frage und zwar wurde oben geschrieben, dass man bei Reihen Limesbildung und Differentiation im Allgemeinen nicht vertauschen darf.
Wann darf man sie denn vertauschen? Nur bei Potenzreihen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
bei Potenzreihen darf man vertauschen. Allgemein gibt es ein kompliziertes und langes Kriterium auf dem der Beweis beruht, dass besagt, wenn [mm] f_{n} [/mm] auf einem kompakten Intervall C1 ist und die Ableitung dort glm. gegen eine Grenzfunktion g konvergiert und [mm] f_{n} [/mm] mindestens für ein [mm] x_{0} [/mm] aus dem Intervall konvergiert, dann konvergiert [mm] f_{n} [/mm] auch glm. gegen eine C1 Funktion f und die Ableitung von f ist g. Der Beweis läuft über den Hauptsatz.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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