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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Do 15.12.2011 | | Autor: | yoda_rdu |
Liebe Mathefreunde,
Wie gefordert: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin gerade dabei, mein Differentialgeometrie/Tensoranalysis Wissen aufzufrischen und nachdem ich viel gelesen und gegoogelt habe, sind mehr Fragen als Antworten übrig geblieben. Ich würde gerne zwei (verwandte) Fragen stellen. Die erste Frage bezieht sich auf die Definition von Tensoren und die zweite (kurze Frage) auf die Notation in klassischer Differentialgeometrie.
1) Ich bin etwas verwirrt wegen scheinbar widersprüchlicher Definitionen des Tensors. Vor allem in der Mathematik wird ein Tensor als Multilineare Abbildung definiert und v.a. in der Physik über die Transformations-Eigenschaften seiner Komponenten. Ich denke, dass diese Definitionen nicht konsistent miteinander sind. Zwei Beispiele:
i) In der Physik trifft man oft auf den Gradienten des Geschwindigkeitsvektors, grad(V) (V ist der Geschwindigkeitsvektor). grad(V) ist, Dank seiner Transformationseigenschaften, ein Tensor. Nun kommt in der Hydrodynamik oft die Kombination V * grad(V) vor. Diese Abbildung ist nichtlinear, und entsprechend ist grad(V) nun kein Tensor mehr. Ich verstehe nicht, wieso ein Objekt einmal ein Tensor sein kann (Transformationseigenschaft) und als Teil einer bestimmten Abbildung nicht mehr. Sind hier die Definitionen inkonsistent?
ii) Wenn wir einen Vektor als ein-stufigen Tensor deuten, bedeutet das, dass nur alle _linearen_ Funktionale [mm] f(R^n) [/mm] -> R als Vektoren interpretiert werden dürfen (der Dualraum ist ja auch auf die linearen Funktionale beschränkt). Die Abbildung
f(V) = (V,V) zum Beispiel ist nicht linear: Der "erste" Vektor V wäre also kein Vektor mehr. Irgendwie kann das doch nicht stimmen? Jeder Vektor, der in ein nichtlineares Skalarprodukt involviert ist, wäre demnach gar kein Vektor (zumal es inkonsistent mit der Transformationseigenschaft ist, nach der die Komponenten wie gefordert transformieren).
2) In diesem Zusammenhang habe ich noch eine Frage zur Notation der Transformationsmatrizen für kovariante und kontravariante Komponenten. Ich verstehe die Hochstellung des Index bei Komponenten eines Vektors bzw. der Basisvektoren -- aber oft werden die Indizes der Koordinaten selbst hochgestellt:
[mm] x^i [/mm] = [mm] x^i(u^j),
[/mm]
wobei [mm] x^i [/mm] die originalen, und [mm] u^i [/mm] die neuen Koordinaten beschreiben.
Was ist der Unterschied zwischen [mm] x_i [/mm] und [mm] x^i [/mm] (bzw. [mm] u_i [/mm] und [mm] u^i)? [/mm] Es gibt doch nur jeweils eine Koordinatenlinie in i- und j-Richtung.
Herzlichen Dank im Voraus für Anregungen.
Beste Grüße,
Johannes
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Hallo Johannes!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Liebe Mathefreunde,
>
> Wie gefordert: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin gerade dabei, mein
> Differentialgeometrie/Tensoranalysis Wissen aufzufrischen
> und nachdem ich viel gelesen und gegoogelt habe, sind mehr
> Fragen als Antworten übrig geblieben. Ich würde gerne
> zwei (verwandte) Fragen stellen. Die erste Frage bezieht
> sich auf die Definition von Tensoren und die zweite (kurze
> Frage) auf die Notation in klassischer
> Differentialgeometrie.
>
> 1) Ich bin etwas verwirrt wegen scheinbar
> widersprüchlicher Definitionen des Tensors. Vor allem in
> der Mathematik wird ein Tensor als Multilineare Abbildung
> definiert und v.a. in der Physik über die
> Transformations-Eigenschaften seiner Komponenten. Ich
> denke, dass diese Definitionen nicht konsistent miteinander
> sind. Zwei Beispiele:
>
> i) In der Physik trifft man oft auf den Gradienten des
> Geschwindigkeitsvektors, grad(V) (V ist der
> Geschwindigkeitsvektor). grad(V) ist, Dank seiner
> Transformationseigenschaften, ein Tensor.
Die Linearform (Gradient einer geeigneten Funktion [mm] $\varphi$) $\mathbf [/mm] d [mm] \varphi: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] $w [mm] \mapsto \mathbf [/mm] d [mm] \varphi(w)$ [/mm] ist ein kovarianter Tensor.
> Nun kommt in der
> Hydrodynamik oft die Kombination V * grad(V) vor. Diese
> Abbildung ist nichtlinear, und entsprechend ist grad(V) nun
> kein Tensor mehr.
Doch! [mm] $\mathbf [/mm] d [mm] \varphi$ [/mm] ist ein kovarianter Tensor, während die Abbildung $f: [mm] \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] $w [mm] \mapsto w\cdot \mathbf [/mm] d [mm] \varphi(w)$ [/mm] i. Allg. kein Tensor ist.
> Ich verstehe nicht, wieso ein Objekt
> einmal ein Tensor sein kann (Transformationseigenschaft)
> und als Teil einer bestimmten Abbildung nicht mehr. Sind
> hier die Definitionen inkonsistent?
Nein!
>
> ii) Wenn wir einen Vektor als ein-stufigen Tensor deuten,
> bedeutet das, dass nur alle _linearen_ Funktionale [mm]f(R^n)[/mm]
> -> R als Vektoren interpretiert werden dürfen (der
> Dualraum ist ja auch auf die linearen Funktionale
> beschränkt). Die Abbildung
> f(V) = (V,V) zum Beispiel ist nicht linear: Der "erste"
> Vektor V wäre also kein Vektor mehr.
Soll hier [mm] $(\cdot,\cdot)$ [/mm] ein Skalarprodukt sein?
> Irgendwie kann das
> doch nicht stimmen?
Ja, das kann nicht stimmen.
Man kann folgern, dass die Abbildung $f$ kein Tensor ist.
> Jeder Vektor, der in ein nichtlineares
> Skalarprodukt involviert ist, wäre demnach gar kein Vektor
> (zumal es inkonsistent mit der Transformationseigenschaft
> ist, nach der die Komponenten wie gefordert
> transformieren).
>
> 2) In diesem Zusammenhang habe ich noch eine Frage zur
> Notation der Transformationsmatrizen für kovariante und
> kontravariante Komponenten. Ich verstehe die Hochstellung
> des Index bei Komponenten eines Vektors bzw. der
> Basisvektoren -- aber oft werden die Indizes der
> Koordinaten selbst hochgestellt:
>
> [mm]x^i[/mm] = [mm]x^i(u^j),[/mm]
>
> wobei [mm]x^i[/mm] die originalen, und [mm]u^i[/mm] die neuen Koordinaten
> beschreiben.
>
> Was ist der Unterschied zwischen [mm]x_i[/mm] und [mm]x^i[/mm] (bzw. [mm]u_i[/mm] und
> [mm]u^i)?[/mm] Es gibt doch nur jeweils eine Koordinatenlinie in i-
> und j-Richtung.
Ist [mm] $g_{ij}$ [/mm] der metrische Tensor, so gilt: [mm] $x_i [/mm] = [mm] g_{ij}x^j$. [/mm]
>
> Herzlichen Dank im Voraus für Anregungen.
>
> Beste Grüße,
>
> Johannes
>
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 18.12.2011 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi mathfunnel,
vielen Dank für Deine Antwort!
> Doch! [mm]\mathbf d \varphi[/mm] ist ein kovarianter Tensor,
> während die Abbildung [mm]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm],
> [mm]w \mapsto w\cdot \mathbf d \varphi(w)[/mm] i. Allg. kein Tensor
> ist.
>
> > Ich verstehe nicht, wieso ein Objekt
> > einmal ein Tensor sein kann (Transformationseigenschaft)
> > und als Teil einer bestimmten Abbildung nicht mehr. Sind
> > hier die Definitionen inkonsistent?
>
> Nein!
Ist es möglich, die Transformations-Definition aus der Multilinearitäts-Definition herzuleiten (und anders herum? In den mir bekannten Darstellungen werden beide Perspektiven immer unabhängig von einander betrachtet)? Ich kann mir schon denken, dass die Definitionen konsistent sind, wenn nämlich nicht-lineare Abbildungen nicht wie Tensoren transformieren.
> >
> > ii) Wenn wir einen Vektor als ein-stufigen Tensor deuten,
> > bedeutet das, dass nur alle _linearen_ Funktionale [mm]f(R^n)[/mm]
> > -> R als Vektoren interpretiert werden dürfen (der
> > Dualraum ist ja auch auf die linearen Funktionale
> > beschränkt). Die Abbildung
> > f(V) = (V,V) zum Beispiel ist nicht linear: Der "erste"
> > Vektor V wäre also kein Vektor mehr.
>
> Soll hier [mm](\cdot,\cdot)[/mm] ein Skalarprodukt sein?
>
> > Irgendwie kann das
> > doch nicht stimmen?
>
> Ja, das kann nicht stimmen.
> Man kann folgern, dass die Abbildung [mm]f[/mm] kein Tensor ist.
Ja, mit [mm](\cdot,\cdot)[/mm] meinte ich das Skalarprodukt. Wenn nun [mm]f[/mm] kein Tensor ist, dann
wäre doch im Skalarprodukt [mm] \mathbf v^T \cdot \mathbf v [/mm] der Vektor [mm] \mathbf v^T [/mm] (der zusammen mit dem Skalarprodukt die nicht-lineare Abbildung repräsentiert) kein Vektor. Irgendwie habe ich da wohl noch eine Verständnislücke.
> >
> > Was ist der Unterschied zwischen [mm]x_i[/mm] und [mm]x^i[/mm] (bzw. [mm]u_i[/mm] und
> > [mm]u^i)?[/mm] Es gibt doch nur jeweils eine Koordinatenlinie in i-
> > und j-Richtung.
>
> Ist [mm]g_{ij}[/mm] der metrische Tensor, so gilt: [mm]x_i = g_{ij}x^j[/mm].
Kann man sich das anschaulich so vorstellen, dass die [mm]x_i[/mm]-Koordinatenlinien parallel zu den kontravarianten Basisvektoren verlaufen und die [mm]x^i[/mm] parallel zu den kovarianten Basisvektoren?
Nochmals vielen Dank und einen schönen 4. Advent,
Johannes
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Hallo Johannes!
> Hi mathfunnel,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
>
> > Doch! [mm]\mathbf d \varphi[/mm] ist ein kovarianter Tensor,
> > während die Abbildung [mm]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm],
> > [mm]w \mapsto w\cdot \mathbf d \varphi(w)[/mm] i. Allg. kein Tensor
> > ist.
> >
> > > Ich verstehe nicht, wieso ein Objekt
> > > einmal ein Tensor sein kann (Transformationseigenschaft)
> > > und als Teil einer bestimmten Abbildung nicht mehr. Sind
> > > hier die Definitionen inkonsistent?
> >
> > Nein!
>
> Ist es möglich, die Transformations-Definition aus der
> Multilinearitäts-Definition herzuleiten
Die Transformationseigenschaften ergeben sich aus der Multilinearität und umgekehrt.
> (und anders herum?
> In den mir bekannten Darstellungen werden beide
> Perspektiven immer unabhängig von einander betrachtet)?
> Ich kann mir schon denken, dass die Definitionen konsistent
> sind, wenn nämlich nicht-lineare Abbildungen nicht wie
> Tensoren transformieren.
Du solltest die Definitionen aufschreiben und eine Koordinatentransformation durchführen.
>
> > >
> > > ii) Wenn wir einen Vektor als ein-stufigen Tensor deuten,
> > > bedeutet das, dass nur alle _linearen_ Funktionale [mm]f(R^n)[/mm]
> > > -> R als Vektoren interpretiert werden dürfen (der
> > > Dualraum ist ja auch auf die linearen Funktionale
> > > beschränkt). Die Abbildung
> > > f(V) = (V,V) zum Beispiel ist nicht linear: Der
> "erste"
> > > Vektor V wäre also kein Vektor mehr.
> >
> > Soll hier [mm](\cdot,\cdot)[/mm] ein Skalarprodukt sein?
> >
> > > Irgendwie kann das
> > > doch nicht stimmen?
> >
> > Ja, das kann nicht stimmen.
> > Man kann folgern, dass die Abbildung [mm]f[/mm] kein Tensor
> ist.
>
> Ja, mit [mm](\cdot,\cdot)[/mm] meinte ich das Skalarprodukt. Wenn
> nun [mm]f[/mm] kein Tensor ist, dann
> wäre doch im Skalarprodukt [mm]\mathbf v^T \cdot \mathbf v[/mm]
> der Vektor [mm]\mathbf v^T[/mm] (der zusammen mit dem Skalarprodukt
> die nicht-lineare Abbildung repräsentiert) kein Vektor.
Dass $f$ kein Tensor ist, spielt für $ [mm] \mathbf v^T [/mm] $ keine Rolle!
> Irgendwie habe ich da wohl noch eine Verständnislücke.
Kommt die Lücke daher, dass du den Zusammenhang von Vektor und Tensor nicht kennst?
Sei $V$ ein endlich dimensionaler Vektorraum.
Eine Multilinearform [mm] $\varphi \in V^\ast$ [/mm] auf $V$ ist ein Tensor nach Definition und ein Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ kann mit einer Multilinearform [mm] $E_v \in V^{\ast\ast}$ [/mm] auf [mm] $V^\ast$ [/mm] via [mm] $E_v(\omega) [/mm] = [mm] \omega(v)$ [/mm] für [mm] $\omega \in V^\ast [/mm] $ identifiziert und somit als Tensor [mm] $E_v$ [/mm] aufgefasst werden.
>
> > >
> > > Was ist der Unterschied zwischen [mm]x_i[/mm] und [mm]x^i[/mm] (bzw. [mm]u_i[/mm] und
> > > [mm]u^i)?[/mm] Es gibt doch nur jeweils eine Koordinatenlinie in i-
> > > und j-Richtung.
> >
> > Ist [mm]g_{ij}[/mm] der metrische Tensor, so gilt: [mm]x_i = g_{ij}x^j[/mm].
>
> Kann man sich das anschaulich so vorstellen, dass die
> [mm]x_i[/mm]-Koordinatenlinien parallel zu den kontravarianten
> Basisvektoren verlaufen und die [mm]x^i[/mm] parallel zu den
> kovarianten Basisvektoren?
Ich bin nicht sicher, was du damit erreichen willst, da $V$ und [mm] $V^\ast$ [/mm] verschiedene Vektorräume sind. Beispielsweise kann $ [mm] x_1 [/mm] = [mm] x^1 [/mm] $ oder [mm] $x_1 [/mm] = [mm] -x^1$
[/mm]
sein (hängt vom metrischen Tensor ab).
>
> Nochmals vielen Dank und einen schönen 4. Advent,
>
> Johannes
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Di 20.12.2011 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi Mathfunnel,
vielen Dank, das hilft schonmal sehr! Falls Du noch etwas Geduld übrig hast:
> Kommt die Lücke daher, dass du den Zusammenhang von Vektor
> und Tensor nicht kennst?
Da liegt wohl in der Tat das Problem.
> Sei [mm]V[/mm] ein endlich dimensionaler Vektorraum.
> Eine Multilinearform [mm]\varphi \in V^\ast[/mm] auf [mm]V[/mm] ist ein
> Tensor nach Definition und ein Vektor [mm]v\in V[/mm] kann mit
> einer Multilinearform [mm]E_v \in V^{\ast\ast}[/mm] auf [mm]V^\ast[/mm] via
> [mm]E_v(\omega) = \omega(v)[/mm] für [mm]\omega \in V^\ast[/mm]
> identifiziert und somit als Tensor [mm]E_v[/mm] aufgefasst werden.
Ich habe eine Idee, wo das Missverständnis liegen könnte. Zunächst sollte gelten (auch entsprechend Deiner letzten Antwort):
Die Menge aller Linearformen, die Elemente aus [mm]V[/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm] abbilden, sind Elemente des dualen Vektorraums [mm]V^{\ast}[/mm]. Entsprechendes gilt für [mm]V^{\ast\ast}[/mm] (der ja mit [mm]V[/mm] übereinstimmt). Als Beispiel einer solchen Abbildung kann ich einen beliebigen Vektor [mm]\mathbf v[/mm] aus [mm]V[/mm] hernehmen und die linearen Funktionale [mm]L(\mathbf v) \rightarrow \mathbb{R}[/mm] betrachten. Die dualen Vektoren [mm]L[/mm] kann ich als Zeilenmatrix darstellen. Ein beliebiges lineares Funktional wird also durch ein Skalarprodukt zwischen dualem und "regulärem" Vektor repräsentiert.
Nun war meine Idee, dass es einen dualen Vektor gibt, der dem regulären Vektor [mm]\mathbf v[/mm] gleicht. Dann ist meine offenbar falsche Schlussfolgerung, dass das Skalarprodukt [mm](\mathbf v, \mathbf v ) [/mm] zu einer nichlinearen Abbildung wird und entsprechend der "duale Vektor" kein Vektor mehr ist. Könnte das Problem sein, dass ich den regulären und dualen Vektor fälschlicherweise als dasselbe Objekt behandle? Dass die Abbildung [mm](\mathbf v^T, \mathbf v ) [/mm], die [mm]\mathbf v[/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm] abbildet, also nach wie vor linear (im Argument [mm]\mathbf v [/mm]) ist? ([mm]\mathbf v^T [/mm] ist hierbei der duale Vektor.) Die Abbildung [mm](\mathbf v, \mathbf v ) [/mm] wäre tatsächlich nichtlinear, aber entspräche im allgemeinen nicht dem Skalarprodukt.
Geht das ungefähr in die richtige Richtung? 
Besten Dank!
Johannes
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Hallo Johannes!
Ich hoffe, dass die folgenden Präzisierungen deiner Formulierungen dem entsprechen, was du meinst.
Es sei also $V$ ein endlich dimensionaler [mm] $\mathbb [/mm] R$-Vektorraum.
> Hi Mathfunnel,
>
> vielen Dank, das hilft schonmal sehr! Falls Du noch etwas
> Geduld übrig hast:
>
> > Kommt die Lücke daher, dass du den Zusammenhang von Vektor
> > und Tensor nicht kennst?
>
> Da liegt wohl in der Tat das Problem.
>
> > Sei [mm]V[/mm] ein endlich dimensionaler Vektorraum.
> > Eine Multilinearform [mm]\varphi \in V^\ast[/mm] auf [mm]V[/mm] ist ein
> > Tensor nach Definition und ein Vektor [mm]v\in V[/mm] kann mit
> > einer Multilinearform [mm]E_v \in V^{\ast\ast}[/mm] auf [mm]V^\ast[/mm] via
> > [mm]E_v(\omega) = \omega(v)[/mm] für [mm]\omega \in V^\ast[/mm]
> > identifiziert und somit als Tensor [mm]E_v[/mm] aufgefasst werden.
>
> Ich habe eine Idee, wo das Missverständnis liegen könnte.
> Zunächst sollte gelten (auch entsprechend Deiner letzten
> Antwort):
>
> Die Menge aller Linearformen, die Elemente aus [mm]V[/mm] nach
> [mm]\mathbb{R}[/mm] abbilden, sind Elemente des dualen Vektorraums
> [mm]V^{\ast}[/mm].
Du meinst wohl, dass der Vektorraum der Linearformen auf $V$ gleich dem Dualraum [mm] $V^\ast$ [/mm] von $V$ ist.
> Entsprechendes gilt für [mm]V^{\ast\ast}[/mm] (der ja
> mit [mm]V[/mm] übereinstimmt).
Der Vektorraum [mm] $V^{\ast\ast}$ [/mm] ist isomorph zu $V$ und gleich dem Dualraum von [mm] $V^{\ast}$, [/mm] aber nicht gleich $V$.
> Als Beispiel einer solchen
> Abbildung kann ich einen beliebigen Vektor [mm]\mathbf v[/mm] aus [mm]V[/mm]
> hernehmen und die linearen Funktionale [mm]L(\mathbf v) \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> betrachten. Die dualen Vektoren [mm]L[/mm] kann ich als
> Zeilenmatrix darstellen. Ein beliebiges lineares
> Funktional wird also durch ein Skalarprodukt zwischen
> dualem und "regulärem" Vektor repräsentiert.
>
Etwas formaler ausgedrückt meinst Du wohl Folgendes:
Sei $L [mm] \in V^\ast$ [/mm] eine gegebene Linearform.
Sei [mm] $x_i ,i\in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $x_i^\ast$ [/mm] die zugehörige Dualbasis [mm] ($x_i^\ast(x_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$). [/mm]
Sei [mm] $\psi: V\rightarrow V^\ast$ [/mm] der durch [mm] $\psi(x_i) [/mm] := [mm] x_i^\ast$ [/mm] definierte Isomorphismus. Dann ist $L = [mm] \sum\limits_{i = 1}^nL(x_i)x_i^\ast$.
[/mm]
Der zu $L$ gehörige Zeilenvektor ist somit [mm] $(L(x_1),\ldots,L(x_n))$.
[/mm]
Es ist [mm] $s:V^\ast\times [/mm] V [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R, [mm] (\alpha, [/mm] v) [mm] \mapsto \alpha(v)$ [/mm] eine Bilinearform und $L = [mm] s_L$ [/mm] mit [mm] $s_L: [/mm] V [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R, [mm] v\mapsto [/mm] s(L,v)$.
Es gibt ein Skalarprodukt [mm] $\delta$ [/mm] mit [mm] $\delta: V\times [/mm] V [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R$, [mm] $(v,w)\mapsto \psi(v)(w) [/mm] = [mm] s(\psi(v),w)$. [/mm] Somit ist [mm] $\delta(x_i, x_j)= \psi(x_i)(x_j) [/mm] = [mm] s(\psi(x_i),x_j) [/mm] = [mm] x_i^\ast(x_j)= \delta_{ij}$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] ist das Standardskalarprodukt auf $V$.
Du konstruierst aus dem Standardskalarprodukt [mm] $\delta$ [/mm] die nichtlineare Abbildung
$S: V [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R, v [mm] \mapsto \delta(v,v)=s(\psi(v),v)$. [/mm]
> Nun war meine Idee, dass es einen dualen Vektor gibt, der
> dem regulären Vektor [mm]\mathbf v[/mm] gleicht.
Der zu $v$ duale Vektor ist [mm] $\psi(v)$.
[/mm]
> Dann ist meine
> offenbar falsche Schlussfolgerung, dass das Skalarprodukt
> [mm](\mathbf v, \mathbf v )[/mm]
(Skalarprodukt [mm] $\delta$)
[/mm]
> zu einer nichlinearen Abbildung
Du meinst die Abbildung $S$.
> wird und entsprechend der "duale Vektor" kein Vektor mehr
> ist.
Es ist weiterhin [mm] $\psi(v) \in V^\ast$, [/mm] also ist [mm] $\psi(v)$ [/mm] ein Vektor im Dualraum und eine Linearform.
> Könnte das Problem sein, dass ich den regulären und
> dualen Vektor fälschlicherweise als dasselbe Objekt
> behandle?
Diese Vektoren sind zwar nicht gleich, aber ich denke nicht, dass das das Problem ist.
> Dass die Abbildung [mm](\mathbf v^T, \mathbf v ) [/mm],
> die [mm]\mathbf v[/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm] abbildet, also nach wie vor
> linear (im Argument [mm]\mathbf v [/mm]) ist?
Nein, sie ist nichtlinear und gleich der Abbildung $S$.
> ([mm]\mathbf v^T[/mm] ist
> hierbei der duale Vektor.) Die Abbildung [mm](\mathbf v, \mathbf v )[/mm]
> wäre tatsächlich nichtlinear, aber entspräche im
> allgemeinen nicht dem Skalarprodukt.
$S$ ist i. Allg. nicht linear und kein Skalarprodukt!
>
> Geht das ungefähr in die richtige Richtung?
Ich bin mir nicht ganz sicher, in welche Richtung du gehst
>
> Besten Dank!
>
> Johannes
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 22.12.2011 | | Autor: | yoda_rdu |
Vielen Dank für die detaillierte Anwort! Ich muss da noch ein bisschen drüber brüten, aber es scheint als wäre der Dualraum zwar definiert über die linearen Funktionale, was aber nicht heißt, dass man duale Vektoren nicht in nichtlineare Abbildungen verwickeln darf (dass das so ohne Widerspruch möglich ist, muss ich mir glaube ich noch klarmachen).
EDIT:
Ich glaube, ich habe es endlich verstanden. Der Vektor (Tensor) selbst ist die (multi-) lineare Funktion. Ob ich mit diesem Tensor dann eine nichtlineare Abbildung konstruiere hat auf den Tensor keinen Einfluss. Ich dachte irgendwie, dass sich die Definition auf die Abbildung, die Du mit [mm]S[/mm] bezeichnet hast bezieht ...
Besten Gruß,
Johannes
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