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| Aufgabe | (Selber formuliert) Es zerfaellt das Element A mit Zerfallkonstante a (Halbwertszeit [mm] T_a) [/mm] in das Element B, welches selber mit Zerfallkonstante b (Halbwertszeit [mm] T_b) [/mm] in das Element C zerfaellt.
Druecken sie die Menge des Elements B in Funktion von: Anfangsmenge des Elements A, Anfangsmenge des Elements B, Zeit aus. |
Hallo erstmal,
Dieses Problem stellt mich vor gewisse Probleme...aber erstmal Schritt fuer Schritt:
Mein Differentialgleichungs-Ansatz:
[mm] dB = -dA - b*B*dt [/mm]
Hintergedanke davon: B nimmt im selben Masse zu, in dem A abnimmt. (erster Term) zusaetzlich zerfaellt B weiter in C (zweiter Term).
Nun kann man [mm] dA [/mm] natuerlich ausrechnen. Naemlich:
[mm] dA = -a*A*dt -> A = A_0*e^{-at}[/mm]
Wenn man dies nun in der ersten Gleichung einsetzt, kommt man auf:
[mm] dB = -(-a*A*dt)-b*B*dt = a*A_0*e^{-at}*dt-b*B*dt[/mm]
So. Wenn ich diese Gleichung nun mithilfe eines Wolfram-Alpha widgets aufloese (wie wuerde ich das ohne digitale hilfe machen?) spuckt der mir folgende Loesung aus:
[mm] B(t) = C_1*e^{-bt} -\frac{a*A_0}{a-b}*e^{-at} [/mm]
Ich wuerde mal stark schaetzen, dass [mm] C_1 = B_0 [/mm], also die Anfangsmenge von B.
So, diese Loesung ist nun aber reichlich seltsam. Denn wenn [mm] B_0 = 0[/mm], dann gilt [mm] B(t) < 0 [/mm] wenn [mm] a>b [/mm].
Das ist in erster Linie seltsam, da ja B(t) nie kleiner als 0 sein kann. Wenn a>b gilt ausserdem, dass die Halbwertszeit von A kleiner als die Halbwertszeit von B ist...es muesste B also - zumindest fuer eine Zeit lang- einen Wert groesser als 0 annehmen.
Ausserdem muesste ja in t = 0 gelten: [mm] B(0) = B_0[/mm], aber auch dies erfuellt sich nicht, denn: (sei [mm] B_0 \not= 0 [/mm]):
[mm] B(0) = B_0 -\frac{a*A_0}{a-b} \not= B_0 [/mm]
Die loesung kann so also nicht stimmen. Wenn ich das ganze allerdings ableite (und etwas rumschiebe), komme ich genau auf meine urspruengliche Differntialgleichung:
[mm] dB = a*A_0*e^{-at}*dt-b*B*dt[/mm]
bzw
[mm] \frac{dB}{dt}=a*A_0*e^{-at}-b*B[/mm]
Was mache ich falsch? Ich bin total verwirrt.
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Uff, das ist mal wieder typisch. Da denkt man ewig drueber nach, und sobald man die Frage hochgeladen hat faellt es einem auf einmal wie Schuppen von den Augen. [mm] C_1 [/mm] ist natuerlich NICHT direkt [mm]B_0[/mm], sondern ist eine Konstante die eben dafuer sorgt dass die Gleichung unsere Anfangsbedingungen erfuellt. Damit [mm] B(0) = B_0 [/mm]. Es muesste also gelten:
[mm]C_1 = B_0+ \frac{a*A_0}{a-b} [/mm]
was natuerlich unsere gesamte Gleichung modifiziert.
Stimmts?
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Ja, so ist es.
Zu deinem negativen Wert (falls b>a):
Stell dir ein Waschbecken vor, in dem unten das Wasser ausfließt (Ausflussgeschwindigkeit abhängig vom Bodendruck) und oben aus einem Krahn nachgefüllt wird.
Dann steigt das Wasser, wenn der Zulauf höher als der Ausfluss ist (b<a), und bei einer bestimmten Wasserhöhe kann ein Gleichgewicht eintreten (oder auch nicht). Wenn aber von vornherein der Abfluss höher sein KANN als der Zufluss ist (b>a), steigt das Wasser gar nicht erst an. Rechnerisch hättest du sogar einen negativen Wert (mehr weg als dazu), tatsächlich aber einen Wert >0, denn:
Wie im Waschbecken, das dann aber immer "irgendwie nass" vom durchlaufenden Wasser ist, verhält es sich auch mit Substanz B, denn sonst wüsste man gar nichts über die Existenz von B (woher käme [mm] B_0?).
[/mm]
Nemen wir an, B hat eine Halbwertszeit von 2 Sekunden und in diesen 2 Sekunden kämen aus Substanz A (hohe Halbwertszeit, große Menge) 400 B-Teilchen. Dann wären nach 2 s davon noch 200 übrig, nach 4 s noch 100 usw.. Gleichzeitig gäbe es auch noch die Vorgänger, von den 2 s vorher wären ja auch noch 200 übrig, von den vor 4 S noch 100 usw.
Nun könnte man sagen: Dann sind es ja wahrscheinlich insgesamt 400, die in jedem Moment da sind. Falsch!
Wenn wir betrachten, wie viele Teilchen in einer Sekunde aus Substanz A herauskommen, wären das 200. Und durch die selben Überlegungen kämen wir darauf, dass in jedem Moment nur 200 Teilchen existieren müssten. Der Wert (ich nenne ihn nun [mm] B_0) [/mm] der in einem Moment existierenden Teilchen kann aber nicht von der Beobachtungsdauer abhängen.
Wie erfährt man, wie viele Teilchen von B in jedem Moment existieren (wenn man sozusagen die Situation einfrieren und die Teilchen zählen könnte), wenn aus A pro Sekunde 200 Teilchen kommen?
Da diese als B schneller zerfallen, wie sie in A nachgeliefert werden, müsste sich wie im Waschbecken ein stationärer Zustand einstellen. Auf Dauer müssen dann genau so viele B-Teilchen zerfallen, wie nachgeliefert werden, denn sonst würden es entweder immer mehr oder der Wert ginge unter 0.
Wenn wir nun wissen, dass pro Sekunde 200 B-Teilchen entstehen, zerfallen also auch pro Sekunde 200 B-Teilchen. Nun rechnet man einfach aus:
Wieviele B-Teilchen müssen existieren, damit in 1 s 200 davon zerfallen?
(falscher) Ansatz: [mm] 200=B_0-B_0*e^{-b*1s} [/mm] (*1)
Klingt gut, wäre auch richtig, wenn man die Ausgangsmenge B betrachtet, die nach 1 s auf [mm] B_0*e^{-b*1s} [/mm] abgeklungen ist. Aber: in dieser Zeit wurde ja B wieder durch die Zerfälle von A aufgefüllt, und diese hinzukommenden B-Teilchen zerfallen ja auch schon in der 1. Sekunde und tragen zum Wert 200 bei.
Richtiger Ansatz: Bei konstantem [mm] B=B_0 [/mm] verlassen in jeder winzigen Zeiteinheit dt genau [mm] dB=B_0*b*e^{-b*0s}*dt=B_0*b*dt [/mm] Teilchen die Substanz B. Damit gilt - weil die Menge der B-Teilchen und damit auch die der B-Zerfälle immer konstant bleibt - für 1 S:
[mm] \Delta B=200=B_0*b*\Delta t=B_0*b*1s [/mm] (*2)
Damit ermittelt man die Anzahl [mm] B_0, [/mm] wieviele B-Teilchen in jedem Moment existieren, falls b>a und b bekannt ist.
Bleibt nur noch die Frage, woher man b kennt.
Da greift man nun zu obigem "falschen Ansatz" (*1): Man nimmt A weg, dadurch hat man die oben beschriebene Situation (es werden keine neuen B-Teilchen erzeugt) und misst dann die Zerfallszahl für z.B. die 1. Sekunde. Nun hat man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten: (*1) und (*2) jeweils mit b und [mm] B_0, [/mm] aus denen man beides ermitteln kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 19.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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