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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 01.02.2007 | | Autor: | Minki |
| Aufgabe | Sei g eine stetige Funktion und y eine Lösung der Differentialgleichung y'=g(y), d.h. y'(t) = g(y(t)) für alle t. Setze für t0 E R n(t):=y(t-t0).
Zeigen Sie, dass auch n die Differentialgleichung y'=g(y) löst. Gewinnen Sie so die Lösung der logistischen Differentialgleichung zum Anfangswert y(t0) =y0. |
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Hallo
Ich verstehe leider nicht so ganz, was ich machen muss... Wie ich anfangen soll, einfach y(t-to) für y(t) einsetzen und für t0 eine Zahl einsetzen oder t0 unbeachtet lassen?
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> Sei g eine stetige Funktion und y eine Lösung der
> Differentialgleichung y'=g(y), d.h. y'(t) = g(y(t)) für
> alle t. Setze für [mm] t_0 [/mm] E R [mm] n(t):=y(t-t_0).
[/mm]
> Zeigen Sie, dass auch n die Differentialgleichung y'=g(y)
> löst. Gewinnen Sie so die Lösung der logistischen
> Differentialgleichung zum Anfangswert [mm] y(t_0) =y_0.
[/mm]
Hallo,
y ist also ein Funktion mit folgender Eigenschaft: y'=g(y)=g [mm] \circ [/mm] y.
D.h. an jeder Stelle t gilt y'(t)=g(y(t)).
Nun wird eine neue Funktion n definiert mit folgender Eigenschaft:
Ihr Wert, den sie an einer Stelle t hat, ist gleich dem Wert, den y an der Stelle [mm] t-t_0 [/mm] annimmt für irgendein festes [mm] t_0 [/mm] (Du kannst Dir z.B. 5 dafüreingesetzt denken), n ist also gegenüber y um [mm] t_0 [/mm] verschoben.
Also [mm] n(t):=y(t-t_0)
[/mm]
Wir können das auch noch anders schreiben, indem wir eine weitere Funktion h definieren:
[mm] h(t):=t-t_0
[/mm]
Dann ist n(t)=y(h(t))=(y [mm] \circ [/mm] h)(t)
Zeigen sollst Du nun, daß n'=g(n) ist, d.H. n'(t)=g(n(t)).
Wie machst Du das? Du leitest nach allen Regeln der Kunst ab, unter Anwendung der Kettenregel:
n'(t)=(y [mm] \circ [/mm] h)'(t)=...
Gruß v. Angela
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