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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Di 11.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] s_{(t)} [/mm] mit [mm] s_{0}=0 [/mm] genüge der Differentialgleichung [mm] s-t^{2}*s'=1+s'.
[/mm]
a) ermitteln sie die ersten vier von Null verschiedenen Koeffizienten der Reihenentwicklung für s.
b) Berechnen sie die exakte Lösung der Differentialgleichung |
Hi Leute,
hab mit Aufgabenteil b) Probleme, a) hat geklappt.
Hab b) versucht so zu lösen:
Erstmal Gleichung umgestellt:
[mm] \bruch{1}{t^{2}+1}*s-s'=\bruch{1}{t^{2}+1}
[/mm]
Dann den homogenen Teil durch Trennung der variablen:
[mm] \bruch{1}{t^{2}+1}*s=\bruch{ds}{dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{s}ds=\bruch{1}{t^{2}+1}dt
[/mm]
Das abgeleitet ergibt:
ln(s) = arctan (t) + ln(C)
[mm] ln(\bruch{s}{C})=arctan(t)
[/mm]
[mm] \bruch{s}{C}=e^{arctan(t)}
[/mm]
[mm] s=C*e^{arctan(t)}
[/mm]
Jetzt variation der Konstanten:
[mm] s=K_{x}*e^{arctan(t)}
[/mm]
[mm] s'=K'_{x}*e^{arctan(t)}+K_{x}*e^{arctan(t)}*\bruch{1}{t^{2}+1}
[/mm]
Das eingesetzt in die inhomogene Gleichung [mm] \bruch{1}{t^{2}+1}*s-s'=\bruch{1}{t^{2}+1}:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{t^{2}+1}=\bruch{1}{t^{2}+1}*K_{x}*e^{arctan(t)}-K'_{x}*e^{arctan(t)}-K_{x}*e^{arctan(t)}*\bruch{1}{t^{2}+1}
[/mm]
Da kürzt sich dann wie erwartet einiges weg, es bleibt:
[mm] \bruch{1}{t^{2}+1}=K'_{x}*e^{arctan(t)}
[/mm]
Nach K' umgestellt:
[mm] K'_{x}=-\bruch{\bruch{1}{t^{2}+1}}{e^{arctan(t)}}
[/mm]
K' Integriert ergibt:
[mm] -ln(e^{arctan(t)})+C [/mm] ; (wegen Ableitung dividiert durch Stammfunktion)
So, wenn ich das jetzt in [mm] s=K_{x}*e^{arctan(t)} [/mm] einsetze und C über den Anfangswert bestimmen will, bekomme ich für C=0 und somit [mm] s=-arctan(t)*e^{arctan(t)}
[/mm]
Ergebnis der Musterlösung: [mm] 1-e^{arctan(t)}
[/mm]
Ich hoffe ich hab das einigermaßen übersichtlich geschrieben. Hoffe mit kann jemand helfen. Schonmal Danke im Voraus!!!
LG
Stefan
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Hallo Stefan!
> Da kürzt sich dann wie erwartet einiges weg, es bleibt:
>
> [mm]\bruch{1}{t^{2}+1}=K'_{x}*e^{arctan(t)}[/mm]
>
> Nach K' umgestellt:
>
> [mm]K'_{x}=-\bruch{\bruch{1}{t^{2}+1}}{e^{arctan(t)}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hierher konnte ich keinen Fehler entdecken.
> K' Integriert ergibt:
>
> [mm]-ln(e^{arctan(t)})+C[/mm] ; (wegen Ableitung dividiert durch
> Stammfunktion)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Und das stimmt nicht mehr. Du hast ja nicht die gesamte Ableitung im Zähler, sondern nur die Ableitung des Exponenten [mm] $\arctan(t)$ [/mm] .
Verwende hier die Subtitution $z \ := \ [mm] \arctan(t)$ [/mm] .
Damit erhalte ich dann: [mm] $K_x [/mm] \ = \ [mm] e^{-\arctan(t)}+c [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^{\arctan(t)}}+c$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Di 11.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ahh, klar!!! verdammt! Danke
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