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| Aufgabe | In einem elektrischen Schaltkreis aus einem Widerstand R, einer Spule mit der Induktivität L und der Quellspannung [mm] U(t)=U_{0}*sin(\omega [/mm] *t) wird die Stromstärke i(t) durch die Differentialgleichung
[mm] R*i(t)+L*\bruch{d}{dt}i(t)=U(t) [/mm] beschrieben.
Zum Zeitpunkt t=0 ist der Anfangswert i(0) = 0A geegeben.
1.1 Bestimmen Sie die Lösung der homogenen Differentialgleichung.
1.2 Bestimmen Sie mit einer geeigneten Methode eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
1.3 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
1.4 Bestimmen Sie die zum Anfangswert i(0)=0 gehörige Lösung. |
Ich stehe bei dieser Aufgabe so ziemlich auf dem Schlauch...
es hängt schon bei aufgabe 1.1
Aufgabe 1.1:
Ich weiß ja das eine homogene Differentialgleichung z.B
[mm] y''+a_{1}*y'+a{0}=0 [/mm] aussieht.
Kann ich jetzt einfach sagen:
[mm] R*i(t)+L*\bruch{d}{dt}i(t)=0 [/mm] ???
desweiteren würde ich sagen das R und L konstanten sind. Liege ich soweit richtig ?
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Hallo,
ich glaube man kann dafür auch schreiben (ich kenn mich hier mit der Physik auch nicht aus, vielleicht schaut deshalb nochmal jemand rüber):
> [mm]R*i(t)+L*\bruch{d}{dt}i(t)=U(t)[/mm]
= R*i(t) + L*i'(t) = U(t) bzw.
R*i(t) + L*i'(t) = [mm] U_{0}*sin(wt), [/mm] also eine DGL der Ordnung 1. [mm] R,L,U_{0} [/mm] würde ich auch als Konstanten interpretieren.
> 1.1 Bestimmen Sie die Lösung der homogenen
> Differentialgleichung.
die DGL lautet also R*i(t) + L*i'(t) = 0. Getrennte Veränderliche sollte hinhauen.
> 1.2 Bestimmen Sie mit einer geeigneten Methode eine
> spezielle Lösung der inhomogenen DGL.
Vorgehen: Ich würde Variation der Konstanten probieren. Kennst du das?
> 1.3 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
einfach die Summe aus 1.1 und 1.2.
> 1.4 Bestimmen Sie die zum Anfangswert i(0)=0 gehörige
> Lösung.
hier musst deine allgemeine Lösung einfach an die gegebene Anfangsbedingung anpassen, sprich die Konstanten bestimmen. OK?
> Ich stehe bei dieser Aufgabe so ziemlich auf dem
> Schlauch...
Ich hoffe das hilft dir schon ein bisschen.
Grüße, Steffen
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Also zu 1.1
R*i(t) + L*i'(t) = 0 ich setze i(t)=y(t)
L*y'(t) + R*y(t) = 0
Ansatz:
[mm] y_{0}=e^{\lambda t}
[/mm]
L*y'0 + R*y0 = L* [mm] \lambda e^{\lambda t} [/mm] + R* [mm] e^{\lambda t} [/mm] = 0
= [mm] (L*\lambda+R)e^{\lambda t}=0
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{R}{L}
[/mm]
habe ich die aufgabe soweit richtig gelöst ?
[mm] y0=e^{-\bruch{R}{L}t}
[/mm]
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Hi!
Also steffenhst hat dir ja schon die wesentlichen Tips gegeben:
Zunächst einmal ist deine Lösung der homogenen Differentialgleichung richtig, aber sie ist noch nicht die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (Was ist mit multiplikativen Konstanten?):
Wenn du statt [mm] y(t)=i(t) = e^{\lambda*t} [/mm] , [mm] y(t)=i(t)=C*e^{\lambda*t} [/mm] erhälst du als Lösung dann die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:
[mm] y(t)=i(t)=C*e^{-\frac{R}{L}*t} [/mm]
Zu 1.2:
Eine spezielle Lösung kriegt man sehr schnell wenn man sich überlegt was passiert, wenn man die Konstante in der homogenen Lösung nun als zeitabhängig betrachtet (das war mit Variation der Konstanten gemeint), also als:
a) [mm] y(t)=i(t)=C(t)*e^{-\frac{R}{L}*t} [/mm]
Dann folgt:
b) [mm] y'(t)=\frac{d}{dt}i(t)=C'(t)*e^{-\frac{R}{L}*t}+C(t)*(-\frac{R}{L})*e^{-\frac{R}{L}*t} [/mm]
Die beiden a) und b) in die DGL einsetzen und man erhält:
[mm] L*C'(t)*e^{-\frac{R}{L}*t}-L*C(t)*\frac{R}{L}*e^{-\frac{R}{L}*t}+R*C(t)*e^{-\frac{R}{L}*t}=U_{0}sin(w*t)[/mm]
Nach ein wenig umformen dann:
[mm] C'(t)=\frac{U_{0}}{L}*e^{\frac{R}{L}*t}*sin(w*t)[/mm]
Integration liefert dann:
[mm] C(t)-C(0)=\integral_{0}^{t}{C'(t) dt}=\integral_{0}^{t}{\frac{U_{0}}{L}*e^{\frac{R}{L}*t}*sin(w*t) dt}=\frac{U_{0}}{R^2-(wL)^2}*e^{\frac{R}{L}*t}*(R*sin(w*t)-w*L*cos(w*t))[/mm]
[mm] C(0) [/mm] ist dabei eine Integrationskonstante, die wir im weiteren K nennen wollen.
Als spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung erhälst du also (einfach C(t) einsetzen in a) ):
[mm]y(t)=i(t)=\frac{U_{0}}{R^2-(wL)^2}*(R*sin(w*t)-w*L*cos(w*t))+K*e^{-\frac{R}{L}*t}[/mm]
Zu 1.3)
Wie steffenhst bereits erklärt hat. (Am besten setzt du dabei C+K=D)
Zu 1.4)
Setze die Bedingung ein und löse die entstehende Gleichung in ihrer unbekannten Konstante D!
Ich hoffe dass hilft dir!
Gruß Deuterinomium
P.S.: Nur mal als kleiner Tip: Gewöhn dich lieber an die Schreibweise [mm]\frac{d^n}{dx^n} f(x) [/mm] für [mm] f^{(n)}(x) [/mm], also die n-te Ableitung. Ich weiss die sehen am Anfang furchtbar kompliziert aus, sind aber eigentlich ganz einfach und vor allem praktischer, denn
- erstens enthält diese Schreibweise mehr Informationen (Wonach leite ich ab?, Wie oft?,...)
- zweitens weiß ich bei Funktionen mit mehreren Variablen ohne die Schreibweise nicht wonach ich ableite
- und drittens ist sie einfach hübscher.
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hey vielen dank erstmal für die mühe. Werde damit jetzt erstmal bischen rechnen soweit ich komme und mich dann wieder melden :)
Mein problem ist bei differentialgleichungen irgendwie das ganze unterscheiden zwischen "lösen der homogenen DGL", "allgemeine lösung der DGL" "spezielle lösung der DGL" da haperts immer so nen bischen und dann noch zu erkennen wann inegriert werden muss...
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Die Verwirrung kann ich verstehen, aber eigentlich geht es ganz einfach:
1. Eine homogene gewöhnliche Gleichung hat immer die Form:
irgendwelche Ableitungen (aber nach derselben Variablen) einer Funktion beliebig verknüpft = 0
2. Eine inhomogene gewöhnliche Differentialgleichung hat immer die Form:
irgendwelche Ableitungen (aber nach derselben Variablen) einer Funktion beliebig verknüpft = F(Variable) ,
wobei F irgendeine Funktion sein kann, die von der selben Variable abhängt (Sie kann auch ne Konstante sein).
Die Lösung solcher Gleichungen kann man mit verschiedenen Ansätzen herleiten, die man mit der Zeit kennen lernt.
Eine hast du ja jetzt: Variation der Variablen
Andere wären:
- Separation der Variablen
- Lösungen raten
- Die Gleichung auf andere Funktionen umschreiben
- direkte Integration
usw.
3. Die Allgemeine Lösung einer inhomogenen gewöhnlichen Differentialgleichung ist für lineare Gleichungen die Summe der Lösung der Gleichung wenn ich sie als homogen betrachte (alo einfach gleich null setze) und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung.
Das kann man allgemein beweisen!
( Linear heißt: ohne Exponenten )
Ich hoffe dass hilft dir, sonst schau einfach mal hier:
http://phong.informatik.uni-leipzig.de/~kuska/mathmeth/lecture1.pdf
Gruß Deuterinomium
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