Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 So 27.07.2008 | | Autor: | vada |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Lösung der Differentialgleichung
(1+x²)y'-2xy=0 mit der Anfangsbedingung y(0)=1 |
Hallo,
mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht richtig nach y'/y umstellen kann um dann y zu bestimmen.
Wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen kann.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo vada,
> Bestimmen Sie eine Lösung der Differentialgleichung
>
> (1+x²)y'-2xy=0 mit der Anfangsbedingung y(0)=1
> Hallo,
>
> mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht richtig
> nach y'/y umstellen kann um dann y zu bestimmen.
Hmm 
Ist diese Dgl. nicht trennbar?
[mm] $(1+x^2)y'-2xy=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (1+x^2)y'=2xy$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y'=\frac{2xy}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{y} [/mm] \ [mm] \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{y} [/mm] \ [mm] dy=\frac{2x}{1+x^2} [/mm] \ dx$
Nun beide Seiten integrieren
[mm] $\Rightarrow \blue{\int}{\frac{1}{y} \ dy}=\blue{\int}{\frac{2x}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] ...
Dann die AWB einbauen
LG
schachuzipus
>
> Wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen kann.
>
> Viele Grüße
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 27.07.2008 | | Autor: | vada |
Und genau da hätten wir schon das nächste Problem:
Ich integriere zu
----> lny= ??? wie kann ich 2x/1+x² integrieren?
Kann ich stattdessen schreiben 2x * (1+x^-2) ---> 2x + 2x^-1
das integriert ---> x²+1
dann hat man lny=x²+1+c
--> y= [mm] e^x²+1+c [/mm] ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Und genau da hätten wir schon das nächste Problem:
>
> Ich integriere zu
>
> ----> lny= ??? wie kann ich 2x/1+x² integrieren?
>
> Kann ich stattdessen schreiben 2x * (1+x^-2) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das wäre [mm] $2x\cdot{}(1+\frac{1}{x^2})=2x+\frac{2x}{x^2}\neq\frac{2x}{1+x^2}$
[/mm]
Geht also nicht!!
> ---> 2x + 2x^-1
>
> das integriert ---> x²+1
>
> dann hat man lny=x²+1+c
>
> --> y= [mm]e^x²+1+c[/mm] ist das soweit richtig?
Leider nicht, aber das Integral [mm] $\int{\frac{2x}{1+x^2} \ dx}$ [/mm] ist doch ein logarithmisches Integral, also eines, in dem im Zähler die Ableitung des Nenners steht, dh. von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Das hat (bekanntermaßen) die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|+c$
[/mm]
Herleitung über die Substitution $u:=f(x)$
Hier bei dir substituiere also (wenn du's zu Fuß berechnen willst, ohne die Kenntnis des log. Integrals zu nutzen) [mm] $u:=1+x^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 So 27.07.2008 | | Autor: | vada |
OK, das mit dem logarithmischen Integral ist mir neu . Danke, hat mir sehr geholfen.
|
|
|
|
