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| Aufgabe | Gesucht ist das Fundamentalsystem folgender Dif.gleichung zweiter Ordnung
D²(y) = [mm] \bruch{3}{x} [/mm] * D(y) - [mm] \bruch{4}{x²}*y [/mm] |
Hallo,
wie gehe ich bei einer solchen Aufgabe vor?
allgemein sieht eine Eulerische Difgleichung ja so aus:
x² * D²(y) = [mm] \alpha [/mm] x * D(y) + [mm] \beta [/mm] * y + [mm] \gamma
[/mm]
Nun habe ich in meinen Unterlagen folgendes gefunden:
x= exp (t)
i) y' * x = u'(t)
ii) y'' x² = u''(t) - u'(t)
iii) y(x) = u(t)
Allerdings habe ich das o.g. bei einer anderen Aufgabe gefunden. Kann man dies trotzdem auch hier anwenden? Ist dies also allgemein für Eulerische Differentialgkleichungen?
Wie gehe ich denn weiter vor? Ich muss ja das Fundamentalsystem bestimmen.
Da ich erst spät abends wieder zuhause bin, wäre ich euch dankbar, wenn ihr es gleich sehr leicht erklären könntet, damit ich nicht nachher im Dunkeln dastehe, da morgen eine Klausur ansteht. 
Vielen Dank im Voraus. Ohne euch wäre ich aufgeschmissen.
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Hallo ElDennito,
> Gesucht ist das Fundamentalsystem folgender Dif.gleichung
> zweiter Ordnung
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> D²(y) = [mm]\bruch{3}{x}[/mm] * D(y) - [mm]\bruch{4}{x²}*y[/mm]
> Hallo,
>
> wie gehe ich bei einer solchen Aufgabe vor?
>
> allgemein sieht eine Eulerische Difgleichung ja so aus:
>
> x² * D²(y) = [mm]\alpha[/mm] x * D(y) + [mm]\beta[/mm] * y + [mm]\gamma[/mm]
>
> Nun habe ich in meinen Unterlagen folgendes gefunden:
>
> x= exp (t)
>
> i) y' * x = u'(t)
> ii) y'' x² = u''(t) - u'(t)
> iii) y(x) = u(t)
>
> Allerdings habe ich das o.g. bei einer anderen Aufgabe
> gefunden. Kann man dies trotzdem auch hier anwenden? Ist
> dies also allgemein für Eulerische
> Differentialgkleichungen?
Sicher.
>
> Wie gehe ich denn weiter vor? Ich muss ja das
> Fundamentalsystem bestimmen.
Setze die Formeln unter i), ii) und iii) in die Eulersche DGL ein.
Dann erhälst Du eine lineare DGL zweiter Ordnung,
von der dann die Lösungen zu bestimmen sind.
Der allgemeine Ansatz hier ist [mm]u\left(t\right)=e^{r*t}[/mm].
Diesen setzt Du in die lineare DGL ein und bestimmst, dann die Lösungen für r.
Dann hast Du die Lösungen der linearen DGL.
Eine Rücktransformation liefert dann die Lösungen der Eulerschen DGL.
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> Da ich erst spät abends wieder zuhause bin, wäre ich euch
> dankbar, wenn ihr es gleich sehr leicht erklären könntet,
> damit ich nicht nachher im Dunkeln dastehe, da morgen eine
> Klausur ansteht.
>
> Vielen Dank im Voraus. Ohne euch wäre ich aufgeschmissen.
>
Gruß
MathePower
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Danke erstmal.
Also ich soll für die allgemeine Diffgleichung erstmal die Formeln i) ii) und iii) einsetzen:
u''(t) - u'(t) = u'(t) + u(t) + [mm] \gamma
[/mm]
oder?
D²(y) = $ [mm] \bruch{3}{x} [/mm] $ * D(y) - $ [mm] \bruch{4}{x²}\cdot{}y [/mm] $
Das hier ist die Diffgleichung zweiter Ordnung.
Was muss ich jetzt damit machen?
Könnte jmd das vlt anhand dieses Bsp vorrechnen, weil ich das dann viel leichter nachvollziehen kann (und viel Zeit bleibt mir ja leider eh nicht mehr).
Ich danke euch schonmal!
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Mit der Formal:
>Der allgemeine Ansatz hier ist $ [mm] u\left(t\right)=e^{r\cdot{}t} [/mm] $.
sollte es doch klappen. Einfach die ersten und zweiten Ableitungen [mm] von$u(t)=e^{r\cdot{}t}$ [/mm] bilden, und dann wieder einsetzen.....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Danke erstmal.
>
> Also ich soll für die allgemeine Diffgleichung erstmal die
> Formeln i) ii) und iii) einsetzen:
>
> u''(t) - u'(t) = u'(t) + u(t) + [mm]\gamma[/mm]
>
> oder?
>
> D²(y) = [mm]\bruch{3}{x}[/mm] * D(y) - [mm]\bruch{4}{x²}\cdot{}y[/mm]
>
> Das hier ist die Diffgleichung zweiter Ordnung.
> Was muss ich jetzt damit machen?
>
> Könnte jmd das vlt anhand dieses Bsp vorrechnen, weil ich
> das dann viel leichter nachvollziehen kann (und viel Zeit
> bleibt mir ja leider eh nicht mehr).
>
> Ich danke euch schonmal!
D²(y) = [mm]\bruch{3}{x}[/mm] * D(y) - [mm]\bruch{4}{x²}\cdot{}y[/mm]
[mm] $y''-\bruch{3}{x}*y'+\bruch{4}{x^2}*y=0$
[/mm]
Mit [mm] x^2 [/mm] multiplizieren:
[mm] $x^2*y''-3xy'+4y=0$
[/mm]
Jetzt substituieren mit [mm] x=e^t [/mm] :
1.) [mm] y(e^t)=u(t)
[/mm]
2.) [mm] $\bruch{du}{dt}=y'(e^t)*e^t=y'(x)*x=u'(t)$
[/mm]
3.) [mm] $\bruch{d^2u}{dt^2}=y''(e^t)*e^t*e^t+y'(e^t)*e^t=y''(x)*x^2+y'(x)*x=u''(t)$
[/mm]
[mm] $y''(x)*x^2=u''(t)-u'(t)$
[/mm]
Einsetzen in die DGL:
$u''-u'-3*u'+4*u=0$
$u''-4*u'+4*u=0$
[mm] $\lambda^2-4*\lambda+4=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_{1,2}=2$
[/mm]
[mm] $u(t)=e^{2t}*(C_1+C_2*t)$
[/mm]
[mm] $y(x)=x^2*(C_1+C_2*ln(x))$
[/mm]
LG, Martinius
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