Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe:
y' = [mm] e^{x-y}
[/mm]
Anfangswert y(0) = 1 |
Wie löse ich die DGL?
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^{x-y}
[/mm]
Aber wie spalte ich jetzt [mm] e^{x-y} [/mm] auf?
Geht das über die Trennung der Variablen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Folgende Aufgabe:
>
> y' = [mm]e^{x-y}[/mm]
>
> Anfangswert y(0) = 1
> Wie löse ich die DGL?
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]e^{x-y}[/mm]
>
> Aber wie spalte ich jetzt [mm]e^{x-y}[/mm] auf?
[mm]e^{x-y}= e^xe^{-y}[/mm]
>
> Geht das über die Trennung der Variablen?
Das kannst Du machen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deine Hilfe!
Ok dann würde des so aussehen, oder?
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] e^{x}*e^{-y}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{e^{-y}}dy} [/mm] = [mm] \integral{e^{x}dx}
[/mm]
[mm] \integral{e^{-y}dy} [/mm] = [mm] \integral{e^{x}dx}
[/mm]
[mm] e^{-y} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + c
ln [mm] e^{-y} [/mm] = ln [mm] e^{x} [/mm] + ln c
y = x * c
y(0) = 1 * c
c = 1
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe!
>
> Ok dann würde des so aussehen, oder?
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]e^{x}*e^{-y}[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{e^{-y}}dy}[/mm] = [mm]\integral{e^{x}dx}[/mm]
>
> [mm]\integral{e^{-y}dy}[/mm] = [mm]\integral{e^{x}dx}[/mm]
Hier sollte
[mm]\integral{e^{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{e^{x}dx}[/mm]
stehen !!
>
> [mm]e^{-y}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm] + c
>
> ln [mm]e^{-y}[/mm] = ln [mm]e^{x}[/mm] + ln c
>
> y = x * c
>
> y(0) = 1 * c
>
> c = 1
>
> Ist das richtig?
Nein, siehe oben
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt das Minus habe ich hier falsch angegeben!
Bei meiner Berechnung wars aber weg! Ich habs nur falsch eingetippt!
Aber das Ergebnis müsste passen, oder?
Weil dann ja
y = x * c
wird, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Man kann ja immer das Ergebnis in die Dgl einsetzen um es zu überprüfen.
2. du hast verwendet ln(a+b)=lna+lnb und das ist sehr falsch.
[mm] e^y=e^x+c [/mm] ist noch richtig
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Naja kann ich aber nicht folgendes machen?
[mm] e^{y} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] + c
Dann geh ich mit dem ln her, damit ich die e´s wegbekomme, oder?
[mm] ln^{e^{y}} [/mm] = [mm] ln^{e^{y}} [/mm] + ln c
damit fallen dann ja die ln (bzw. ln und e heben sich auf) weg
übrig bleibt also
y = x * c
oder lieg ich damit falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] ln(e^x+c) \not= ln(e^x)+ln(c) [/mm] !!!!
Für y = x * c gilt: y(0) = 0. Dh. y erfüllt nicht obige Anfangsbedingung
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Ok, aber bisher passts, oder?
[mm] ln^{e^{y}} [/mm] = [mm] ln^{e^{x}} [/mm] + ln c
wie löse ich das dann richtig auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Schon hier kannst Du c bestimmen: aus y(0) =1 ergibt sich c= e-1
also [mm] e^y= e^x+e-1
[/mm]
Dann: y= ln( [mm] e^x+e-1)
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Bei diesem Schritt häng ich irgendwie!
Kannst du es bitte nochmals langsam mit Teilschritten aufschreiben bzw. warum?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal:
$ [mm] ln^{e^{y}} [/mm] $ = $ [mm] ln^{e^{x}} [/mm] $ + ln c ist falsch!
aus [mm] e^y=e^x+c
[/mm]
folgt [mm] ln(e^y)=ln(e^x+c)
[/mm]
[mm] y=ln(e^x+c)
[/mm]
mit [mm] e^y=e^x+c [/mm] und y(0)=1 eingesetzt folgt :
[mm] e^1=e^0+c\quad c=e^1-e^0=e-1
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Do 19.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Aja, noch was der Anfangswert ist y(0) = 1
|
|
|
|
