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| Aufgabe | Lösen sie die Differentalgleichung (allgemein)
y'' - 6y' + 9y = [mm] 9x^2 [/mm] - 3x + 5 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also als erstes habe ich die homogene Gleichung gelöst:
y'' - 6y' + 9y = 0
y = [mm] c_1 [/mm] * e^(3x) + [mm] c_2 [/mm] * x * e^(3x)
jetzt wollte ich die inhomogene Gleichung lösen, habe aber diesmal keinen Ansatz gegeben. wie mache ich das dann?
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Hallo,
am einfachsten ist es hier den Ansatz über den Koeffizientenvergleich zu wählen.
Du hast auf der rechten Seite ein quadratisches Polynom, du solltest also zur Sicherheit [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] wählen. Dann ableiten in die DGL einsetzen und Koeffizienten vergleichen.
Lg
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also ich habe das mal gemacht und komme auf:
y = -1/4 [mm] x^3 [/mm] + 1/2 [mm] x^2 [/mm] - 5/6 x + 9
da habe ich dann erste und zweite ableitung von gemacht und in ausgangsgleichung eingesetzt... da komme ich auf:
y = -9/4 [mm] x^3 [/mm] + 9 [mm] x^2 [/mm] - 15 x + 87...
das stimmt doch nicht oder...
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Hallo dieBiene85,
> also ich habe das mal gemacht und komme auf:
>
> y = -1/4 [mm]x^3[/mm] + 1/2 [mm]x^2[/mm] - 5/6 x + 9
>
> da habe ich dann erste und zweite ableitung von gemacht und
> in ausgangsgleichung eingesetzt... da komme ich auf:
>
> y = -9/4 [mm]x^3[/mm] + 9 [mm]x^2[/mm] - 15 x + 87...
>
> das stimmt doch nicht oder...
Das stimmt wirklich nicht-
Poste doch bitte Deine Rechenschritte, wie Du auf diese Lösung kommst.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
y = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] +cx + d
y' = [mm] 3ax^2 [/mm] + 2bx +c
y'' = 6ax + 2b
das habe ich eingesetzt in y'' -6y' +9y = 0
6ax + 2b - [mm] 18ax^2 [/mm] + 12bx + 6c + [mm] 9ax^3 [/mm] + [mm] 9bx^2 [/mm] + 9cx + 9
= [mm] 9ax^3 [/mm] + (-18a + [mm] 9b)x^2 [/mm] - (-6a-12b-9c)x + 6c + 2b + 9
verglichen mit gleichung muss also:
-18a + 9b = 9
-6a -12b -9c = 3
6c + 2b +9 = 5
durch umformen komme ich auf:
b = 1/2
a = -1/4
c = -5/6
d = 9
daraus folgt:
y = -1/4 [mm] x^3 [/mm] + [mm] 1/2x^2 [/mm] - 5/6x + 9
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Hallo dieBiene85,
> y = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] +cx + d
> y' = [mm]3ax^2[/mm] + 2bx +c
> y'' = 6ax + 2b
>
> das habe ich eingesetzt in y'' -6y' +9y = 0
>
> 6ax + 2b - [mm]18ax^2[/mm] + 12bx + 6c + [mm]9ax^3[/mm] + [mm]9bx^2[/mm] + 9cx + 9
Die linke Seite der Gleichung (hier also y''-6*y'+9*y) muß doch so lauten:
[mm]6ax + 2b -\left\red{(}18ax^2 + 12bx + 6c\right\red{)} + 9ax^3 + 9bx^2 + 9cx + 9\red{d}[/mm]
lauten.
>
> = [mm]9ax^3[/mm] + (-18a + [mm]9b)x^2[/mm] - (-6a-12b-9c)x + 6c + 2b + 9
>
> verglichen mit gleichung muss also:
>
> -18a + 9b = 9
> -6a -12b -9c = 3
> 6c + 2b +9 = 5
Da die Potenz [mm]x^{3}[/mm] auf der rechten Seite (also in der Störfunktion)
nicht vorkommt, ist der Koeffizient 0 zu setzen.
Demnach lautet die entscheidende Gleichung: [mm]9*a=0[/mm]
>
> durch umformen komme ich auf:
>
> b = 1/2
> a = -1/4
> c = -5/6
> d = 9
>
> daraus folgt:
>
> y = -1/4 [mm]x^3[/mm] + [mm]1/2x^2[/mm] - 5/6x + 9
>
>
Gruss
MathePower
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nach allen korrekturen, komme ich auf:
y = [mm] x^2 [/mm] + x + 1
richtig?
das ist jetzt mein ansatz zur berechnung der inhomogenen gleichung?
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> nach allen korrekturen, komme ich auf:
>
> y = [mm]x^2[/mm] + x + 1
nachdem du nun den vorzeichenfehler beseitigt hast, stimmt es!
>
> richtig?
>
> das ist jetzt mein ansatz zur berechnung der inhomogenen
> gleichung?
der ansatz war doch oben das mit [mm] a*x^3...
[/mm]
das hier ist die inhomogene lösung
es ergibt sich damit
[mm] y=y_{homogen}+x^2+x+1
[/mm]
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
hab ich auch gerade gemerkt... hehe... wenn man es als ansatz nimmt kommt man auf [mm] 9x^2 [/mm] -3x+5...
danke für eure hilfe...
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