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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Sa 18.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen des Differentialgleichungssystems y′′′ − 4y′′ + 14y′ − 20y = 0, für die gilt y(0) = y′(0) = 0. |
Die DGL selbst habe ich relativ einfach bestimmen können, die Lösungen dafür sind [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 und [mm] \lambda_{2,3} [/mm] = 1±3i
Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung
[mm]y(t) = c_1 * e^{2t} + c_2 * e^t * cos(3t) + c_3 * e^t * sin(3t)[/mm]
Um nun die exakte Lösung zu finden, muss ich die Anfangswerte einsetzen. Dazu leite ich y(t) erstmal ab zu
[mm]y'(t) = 2 * c_1 * e^{2t} + c_2 (e^t * cos(3t) - 3 * e^t * sin(3t)) + c_3 (e^t * sin(3t) + 3 * e^t * cos(3t))[/mm]
Nun muss gelten
[mm]y(0) = y'(0) = 0[/mm]
Die Werte eingesetzt und ich komme auf folgende Gleichungen
[mm]y(0) = c_1 + c_2 = 0[/mm]
[mm]y'(0) = 2c_1 + c_2 + 3c_3 = 0[/mm]
D.h. ich erhalte garkeine wirklichen Werte für die Konstanten sondern nur Verhältnisse. Wie gehe ich da weiter vor? Kann ich einfach [mm] c_1 [/mm] auf irgendwas setzen und dann den Rest ausrechen? Oder muss ich die Formeln gleichsetzen und dann weiterrechnen bis ich etwas exaktes herausbekomme?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo ApoY2k,
> Bestimmen Sie alle Lösungen des
> Differentialgleichungssystems y′′′ − 4y′′ +
> 14y′ − 20y = 0, für die gilt y(0) = y′(0) = 0.
> Die DGL selbst habe ich relativ einfach bestimmen können,
> die Lösungen dafür sind [mm]\lambda_1[/mm] = 2 und [mm]\lambda_{2,3}[/mm] =
> 1±3i
>
> Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung
>
> [mm]y(t) = c_1 * e^{2t} + c_2 * e^t * cos(3t) + c_3 * e^t * sin(3t)[/mm]
>
> Um nun die exakte Lösung zu finden, muss ich die
> Anfangswerte einsetzen. Dazu leite ich y(t) erstmal ab zu
Du meinst wohl eine "spezielle Lösung".
>
> [mm]y'(t) = 2 * c_1 * e^{2t} + c_2 (e^t * cos(3t) - 3 * e^t * sin(3t)) + c_3 (e^t * sin(3t) + 3 * e^t * cos(3t))[/mm]
>
> Nun muss gelten
>
> [mm]y(0) = y'(0) = 0[/mm]
>
> Die Werte eingesetzt und ich komme auf folgende
> Gleichungen
>
> [mm]y(0) = c_1 + c_2 = 0[/mm]
>
> [mm]y'(0) = 2c_1 + c_2 + 3c_3 = 0[/mm]
>
> D.h. ich erhalte garkeine wirklichen Werte für die
> Konstanten sondern nur Verhältnisse. Wie gehe ich da
> weiter vor? Kann ich einfach [mm]c_1[/mm] auf irgendwas setzen und
> dann den Rest ausrechen? Oder muss ich die Formeln
> gleichsetzen und dann weiterrechnen bis ich etwas exaktes
> herausbekomme?
Die Regel ist, daß bei einer DGL 3. Ordnung
ebenfalls 3 Anfangsbedingungen gegeben sind.
Andererseits kann das auch so gewollt sein,
daß nur zwei Anfangsbedingungen gegeben sind.
In diesem Fall hängt die spezielle Lösung
von der Wahl der dritten Anfangsbedingung ab.
Hier z.B. von y''(0).
Löse demnach das Gleichungssytem
[mm]y(0) = c_1 + c_2 = 0[/mm]
[mm]y'(0) = 2c_1 + c_2 + 3c_3 = 0[/mm]
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 18.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
Das Gleichungssystem hat viele Lösungen, da:
[mm]c_1 = -c_2[/mm]
[mm]c_2 = 3c_3[/mm]
Sprich im Grunde kann ich die Aufgabe nur bis zu diesem Punkt beenden, um weiterzumachen bräuchte ich eine dritte Bedingung? Denn für diese Gleichungen kann ich die Konstanten ja frei wählen - z.B. würde
[mm]c_1 = 1 => c_2 = -1, c_3 = -\bruch{1}{3}[/mm]
Genauso passen wie
[mm]c_1 = 3 => c_2 = -3, c_3 = -1[/mm]
Würde man sowas als Lösung akzeptieren? Also speziell auf so eine Aufgabe bezogen...
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Hallo ApoY2k,
> Das Gleichungssystem hat viele Lösungen, da:
>
> [mm]c_1 = -c_2[/mm]
>
> [mm]c_2 = 3c_3[/mm]
>
> Sprich im Grunde kann ich die Aufgabe nur bis zu diesem
> Punkt beenden, um weiterzumachen bräuchte ich eine dritte
> Bedingung? Denn für diese Gleichungen kann ich die
> Konstanten ja frei wählen - z.B. würde
>
> [mm]c_1 = 1 => c_2 = -1, c_3 = -\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Genauso passen wie
>
> [mm]c_1 = 3 => c_2 = -3, c_3 = -1[/mm]
>
> Würde man sowas als Lösung akzeptieren? Also speziell auf
> so eine Aufgabe bezogen...
Wenn eine Anfangsbedinung fehlt, dann müsste man das so akzeptieren.
Die spezielle Lösung kannst Du auch in Abhängigkeit
von der 3. Anfangsbedingung angeben. Ist sogar besser.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 18.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
> Die spezielle Lösung kannst Du auch in Abhängigkeit
> von der 3. Anfangsbedingung angeben. Ist sogar besser.
Wie hat das dann auszusehen? Versteh ich das so ugf. richtig:
[mm]y''(t) = 2c_1*e^t - 9c_2*cos(3t) + c_2*e^t*cos(3t) + 6c_3*e^t*cos(3t) - 3c_2*e^t*sin(3t) - 8c_3*e^x*sin(3t)[/mm]
[mm]y''(0) = k = 2(c_1 - 4c_2 + 3c_3)[/mm]
Woraus folgt, dass
[mm]c_1(k) = \bruch{k}{9}, c_2(k) = -\bruch{k}{9}, c_3(k) = -\bruch{k}{27}[/mm]
mit
[mm]k = y''(0)[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja,richtig! nur warum setzt du erst k und schreibst nicht einfach y''(0)?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Sa 18.12.2010 | | Autor: | ApoY2k |
Ja stimmt auch... ich finds immer einfacher erstmal einen Buchstaben zu nehmen und den später wieder zu ersetzen. Aber wenn es ansonsten so richtig ist, bin ich zufrieden.
Danke für eure Hilfe! :)
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