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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Hallo,
vieleicht kann mir ja einer erklären wie man die beiden Aufgaben lösen kann.
Aufgabe1
Mann bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung y'= -x/y auf
G={(x,y)|y>0}. Man gebe den jeweiligen Definitionsbereich an und skizziere die Lösungen.
Aufgabe2
Man löse y'= (2t)/(1+t) - (2u)/(1+t), u(0)=1 und skizziere die Lösung,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Molaf |
Hallo Nataliee
Hier ein Tipp zur 1. Aufgabe:
y' ist eine andere Schreibweise für dy/dx. Somit kannst du die Gleichung umschreiben zu:
[mm] \bruch{dy}{dx}= -\bruch{x}{y}
[/mm]
Nun kannst du durch einfache Umformung die Nenner auf die andere Seite bringen:
y*dy = -x*dx
Integration und Auflösung nach y(x) ergibt das Ergebnis. Vergesse aber die Integrationskonstante nicht!
Rückfrage zu 2.) Du verwendest y', u, t als Variablen. Bist du sicher? Ist das y' kein u'?
Ich hoffe es war dir eine Hilfe.
Molaf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 16.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Es hack einfach bei mir kriege die Integration unde die Auflösungen nicht richtig hin.
Zur 2. Das ist schon richtig was ich am anfang geschrieben hab aber war auch schon am überlegen ob es nicht ein fehler ist
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Hallo Nataliee,
> Es hack einfach bei mir kriege die Integration unde die
> Auflösungen nicht richtig hin.
[mm]\begin{array}{l}
y'\; = \; - \frac{x}{y} \\
\Leftrightarrow \;y\;y'\; = \; - x \\
\Rightarrow \;y\;dy\; = \; - x\;dx \\
\Leftrightarrow \;\int {y\;dy} \; = \;\int { - x\;dx} \\
\Leftrightarrow \;\frac{{y^2 }}{2}\; = \;C_0 \; - \;\frac{{x^2 }}{2} \\
\Leftrightarrow \;y^2 \; = \;2\;C_0 \; - \;x^2 \\
\end{array}[/mm]
Da y > 0 kommen nur diese Lösungen in Betracht:
[mm]y(x)\; = \;\sqrt {2\;C_{0} \; - \;x^{2} } [/mm]
Versuche jetzt mal den Definitionsbereich zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 16.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Ich habe das Gefühl as ich es immer wieder schaffe mir die Sachen zu kompliziert vorzustellen.
Also [mm] C_{0} [/mm] ist jetzt element [mm] \IR?
[/mm]
Ich weiß es einfach nicht um nicht zu sagen das ich verzweifle
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Hallo Nataliee,
> Also [mm]C_{0}[/mm] ist jetzt element [mm]\IR?[/mm]
Ja, genau genommen muß [mm]C_{0}\;>\;0[/mm] sein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 16.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Also ist das Intervall I=?> Hallo Nataliee,
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Hallo Nataliee,
> Also ist das Intervall I=?
Überleg mal für welche x ist die Funktion definiert:
[mm]y(x)\; = \;\sqrt {2C_0 \; - \;x^{2} } [/mm]
Die Funktion ist doch genau dann definiert, wenn [mm]2C_{0} \; - \;x^{2} \; \ge \;0[/mm]. Hieraus erhältst Du dann dass Intervall.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Das Intervall ist ja abhänig vom [mm] C_{0} [/mm] das irritiert mich hier weil das Intervall ja immer verschieden ist kommt ja gerade auf das [mm] C_{0} [/mm] an.
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Hallo Nataliee!
> Das Intervall ist ja abhänig vom [mm]C_{0}[/mm] das irritiert mich
> hier weil das Intervall ja immer verschieden ist kommt ja
> gerade auf das [mm]C_{0}[/mm] an.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt ...
Damit musst / kannst du nur eine allgemeine Lösung für den Definitionsbereich angeben in Abhängigkeit von [mm] $C_0$.
[/mm]
Dieses [mm] $C_0$ [/mm] kann nur bestimmt werden, wenn ein gewisser Anfangswert für die Differentialgleichung angegeben wurde.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Wenn Du möchtest, kannst Du auch noch definieren:
$C \ := \ [mm] 2*C_0$ [/mm] bzw. [mm] $k^2 [/mm] \ := \ [mm] 2*C_0$ [/mm] ($k \ [mm] \ge [/mm] \ 0)$
Damit erhältst Du dann: $y(x) \ = \ [mm] \wurzel{C-x^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2-x^2}$
[/mm]
Mit der letzten Darstellung lässt sich dann auch der Definitionsbereich am "schönsten" angeben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Kann ich den definitionsbereich dann so angeben?
definitionsbereich: [mm] k^{2.} [/mm] > [mm] x^{2}
[/mm]
und in der Skizze soll dann die gesamte Funktion sein?
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Hallo Nataliee!
> Kann ich den definitionsbereich dann so angeben?
> definitionsbereich: [mm]k^{2.}[/mm] > [mm]x^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier fehlt doch noch ein Schritt! Es muß schon am Ende nur ein $x$ stehen:
[mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] k^2$ $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \le [/mm] \ k \ \ [mm] (k\ge0)$ $\gdw$ [/mm] $-k \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ +k$
> und in der Skizze soll dann die gesamte Funktion sein?
Genau! Welche geometrische Figur wird hier denn beschrieben?
Und was gibt dann der Parameter $k$ an?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Also es müßte ein Parabel sein und das k müte diese Breiter beim großen Wert und schmaler beim kleinen Wert machen.
Für welches k skizziere ich nun die funktion?
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Hallo Nataliee!
Mit der Parabel muß ich Dich leider enttäuschen, das stimmt nicht ...
Du hast ja schließlich noch die Wurzel!!
Was für ein "Gebilde" erhältst Du denn z.B. bei [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1$ ??
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
enweder hab ich enen hänger und ich bin zu blöd dafür.
ist es dann eine nach oben geschlossene Parabel die bei 0 aufhört?
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Hallo Nataliee!
Jetzt aber bitte nicht zu heftig mit der Hand auf die (eigene) Stirn schlagen ...
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Für $k \ = \ 2$ sieht die ermittelte Funktion so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:28 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Danke, für die mühe also dann hatte ich doch mal ein treffer.
Also dann kann ich die Skizze für ein beliebiges k machen,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 18.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Natalie
> Danke, für die mühe also dann hatte ich doch mal ein
> treffer.
Wenn du das schreibst, denk ich, dass du die Graphik als "nach oben geschlossene Parabel, die bei 0 aufhört" interpretierst! Das ist es nicht!!! [mm] y=a(x-b)^{2}+c [/mm] ist eine Parabel in der allgemeinsten Form. Alle anderen "runden" Kurven sind keine! Parabeln. Sieh dir die Graphik noch mal an! was ist das?
> Also dann kann ich die Skizze für ein beliebiges k
> machen,oder?
ja, wenn du keine Parabel malst!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Nataliee |
Ok das hat sich dann geklärt. danke
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