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| Aufgabe | Hallo an alle!
Ich mùsste die Differentialgleichung $f'(x)=-g(x)\ f(x)$ lòsen! |
Kònnt ihr mir bitte weiterhelfen oder einen Link zu einer Seite geben, wo sie erklàren wie man diese lòst? Habe selbst schon gegoogelt, aber die Beispiele sind stets komplizierter kommt mir vor.
Danke danke an alle!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Tipp: Es gilt [mm] \integral_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)} dx}=ln(f(x))+c.
[/mm]
Nun teile mal beide Seiten durch f(x)!
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Danke Teufel!
Oje, wo ist $g(x)$ hinverschwunden? Mùsste es heissen [mm] $\integral{\frac{f'(x)}{f(x)} dx}=ln(g(x))$? [/mm] Und das minus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Uh, das war ein Missverständnis. :) Also die angegebene Formel gilt immer (mehr oder weniger). Also jetzt nicht nur speziell in deiner Aufgabe. Das kannst du nachrechnen, indem du ln(f(x)) ableitest. Durch die Kettenregel bekommst du ja dann [mm] \frac{1}{f(x)}*f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}. [/mm] Damit gilt die Formel, die ich angegeben habe.
Nun kannst du das für deine Aufgabe benutzen, indem du deine Gleichung erst durch f(x) teilst. Dann hast du ja links den Ausdruck [mm] \frac{f'(x)}{f(x)} [/mm] stehen. Nun integriere mal beide Seiten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Fr 06.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Tipp: Es gilt [mm]\integral_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)} dx}=ln(f(x))+c.[/mm]
Das halte ich für keine gute Idee, denn obiges stimmt nur , wenn f positiv ist
FRED
>
> Nun teile mal beide Seiten durch f(x)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, du hast natürlich recht, das stimmt nur, wenn man noch einige Zusatzannahmen macht. Aber wenn man das blind durchzieht, kommt man erst mal auf eine Lösung. Dass diese dann ok und sogar endeutig ist, kann man ja später zur Not noch beweisen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 06.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, du hast natürlich recht, das stimmt nur, wenn man noch
> einige Zusatzannahmen macht. Aber wenn man das blind
> durchzieht, kommt man erst mal auf eine Lösung.
Das ist also das Wesen der Mathematik ?
> Dass diese
> dann ok und sogar endeutig ist, kann man ja später zur Not
> noch beweisen.
Tatsächlich ?
die Differentialgleichung $ f'(x)=-g(x)\ f(x) $ hat unendlich viele Lösungen !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Teufel |
> Das ist also das Wesen der Mathematik ?
Man muss ja irgendwie erst mal auf eine Lösung kommen. Und einigermaßen systematisch geht es eben so ganz gut. Dass das wirklich stimmt, muss man natürlich anders zeigen, aber wenn man nicht einmal weiß, wie so eine Lösung aussehen kann, finde ich es ganz gut, wenn man sich systematisch Kandidaten beschaffen kann. Zumindest mir ist das lieber, als wenn eine Lösung vom Himmel gefallen kommt.
> Tatsächlich ?
>
> die Differentialgleichung [mm]f'(x)=-g(x)\ f(x)[/mm] hat unendlich
> viele Lösungen !
>
Ich meinte mit eindeutig, dass alle Lösungen von der Form (*) von dir sind, sich also nur um Konstanten unterscheiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Fr 06.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo an alle!
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> Ich mùsste die Differentialgleichung [mm]f'(x)=-g(x)\ f(x)[/mm]
> lòsen!
> Kònnt ihr mir bitte weiterhelfen
Das ist eine lineare homogene Differentialgl. 1. Ordnung.
Wenn g stetig ist und G eine Stammfunktion von g ist, so lautet die allgemeine Lösung
(*) [mm] f(x)=ce^{-G(x)} [/mm] (c [mm] \in \IR)
[/mm]
Dass die Funktionen in (*) Lösungen der Dgl. sind, kannst Du sofort nachrechnen.
Ist umgekehrt h eine Lösung der Dgl., so setze [mm] \phi(x)= \bruch{h(x)}{e^{-G(x)} } [/mm] und zeige, dass [mm] \phi [/mm] konstant ist.
FRED
> oder einen Link zu einer
> Seite geben, wo sie erklàren wie man diese lòst? Habe
> selbst schon gegoogelt, aber die Beispiele sind stets
> komplizierter kommt mir vor.
>
> Danke danke an alle!
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