Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Fr 19.04.2013 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Die Bewegungsgleichung einer Wurfbewegung lautet:
[mm] $m*\ddot y=-m*g-k*\dot y^2 [/mm] $
Dabei handelt es sich bei y um die Bewegungskoordinate, bei m um die Masse, bei k um eine Konstante, welche die geometrische Form beschreibt und bei g um die Erdbeschleunigung
Man ermittle die maximale Wurfhöhe [mm] $y_{(\dot y = 0)}$ [/mm] ! |
Hallo liebes Forum!
Ich verzweifle gerade beim Versuch, o. g. Problem zu lösen und wäre deshalb für eine Hilfestellung überaus dankbar!
Zu meiner Vorgehensweise:
Ich habe eine neue Variable [mm] \alpha^2= \bruch{m*g}{k} [/mm] eingeführt, um das ganze ezwas zu vereinfachen! Somit erhalte ich eine Differentialgleichung der Form:
[mm] $\ddot [/mm] y$ [mm] =g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})
[/mm]
Weiters habe ich nun versucht, diese DGL mittels Trennung der Variablen zu lösen, in dem ich für
[mm] $\ddot y$=\bruch{d \dot y}{dt} [/mm] eingesetzt habe:
[mm] \bruch{d \dot y}{dt}=g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{d \dot y}{g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=dt
[/mm]
Soweit sollte es eigentlich noch passen! Nur finde ich nun keinen Weg, wie ich diesesn linken Therm integrieren kann! Ich bin zwar der Meinung, mittels Substitution sollte das zu lösen sein, finde aber keine geeignete Lösung! Ich wäre somit für eine kleine Hilfestellung jeglicher Art sehr dankbar!
Vielen Danke, mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Fr 19.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Bewegungsgleichung einer Wurfbewegung lautet:
>
> [mm]m*\ddot y=-m*g-k*\dot y^2[/mm]
>
> Dabei handelt es sich bei y um die Bewegungskoordinate, bei
> m um die Masse, bei k um eine Konstante, welche die
> geometrische Form beschreibt und bei g um die
> Erdbeschleunigung
>
> Man ermittle die maximale Wurfhöhe [mm]y_{(\dot y = 0)}[/mm] !
> Hallo liebes Forum!
>
> Ich verzweifle gerade beim Versuch, o. g. Problem zu lösen
> und wäre deshalb für eine Hilfestellung überaus
> dankbar!
>
> Zu meiner Vorgehensweise:
>
> Ich habe eine neue Variable [mm]\alpha^2= \bruch{m*g}{k}[/mm]
> eingeführt, um das ganze ezwas zu vereinfachen! Somit
> erhalte ich eine Differentialgleichung der Form:
>
> [mm]\ddot y[/mm] [mm]=g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})[/mm]
>
>
> Weiters habe ich nun versucht, diese DGL mittels Trennung
> der Variablen zu lösen, in dem ich für
>
> [mm]\ddot y[/mm][mm] =\bruch{d \dot y}{dt}[/mm] eingesetzt habe:
>
> [mm]\bruch{d \dot y}{dt}=g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{d \dot y}{g*(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=dt[/mm]
>
> Soweit sollte es eigentlich noch passen! Nur finde ich nun
> keinen Weg, wie ich diesesn linken Therm integrieren kann!
> Ich bin zwar der Meinung, mittels Substitution sollte das
> zu lösen sein, finde aber keine geeignete Lösung! Ich
ja, das ist mit Substitution zu lösen. Was hast Du denn bisher versucht und woran bist Du gescheitert?
> wäre somit für eine kleine Hilfestellung jeglicher Art
> sehr dankbar!
Ich würde noch eine kleine Umformung vornehmen:
[mm] $\frac{\mathrm{d}\dot{y}}{\frac{\dot{y}^{2}}{\alpha^{2}}+1}=-g\,\mathrm{d}t$
[/mm]
und dann [mm] $u=\frac{\dot y}{\alpha}$ [/mm] substituieren.
>
>
> Vielen Danke, mfg
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 19.04.2013 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
@ notinX :
Besten Dank!
Mittels deinem Vorschlag zur Umformung und zur Substitution habe ich das Problem nun so weit gelöst - DANKE!
Nun hätte ich allerdings noch eine weitere Frage zu diesem Beispiel:
Wenn ich die Ausgangsgleichung betrachte:
$ [mm] m\cdot{}\ddot y=-m\cdot{}g-k\cdot{}\dot y^2 [/mm] $
benötige ich als Ergebniss ja eigentlich die Form [mm] $\dot y_{(y)}$!
[/mm]
Durch die Anwendung der zeitfreien Identität kann ich ja für $ [mm] \ddot [/mm] y = [mm] \dot [/mm] y * [mm] \bruch{d \dot y}{dy}$ [/mm] einsetzen!
Nun erhalte ich folgende Differentialgleichung (selbiges Vorgehen wie bei meinem ersten Post vorausgesetzt):
[mm] $\dot [/mm] y * [mm] \bruch{d \dot y}{dy}=g\cdot{}(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2}) [/mm] $
bzw. nach weiterer Umformung:
[mm] $\bruch{\dot y *d \dot y}{g\cdot{}(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=dy$
[/mm]
[mm] $\bruch{\dot y *d \dot y}{(1+\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=-g \cdot [/mm] dy$
Wenn ich es nun schaffen würde, dies zu integrieren, hätte ich als Ergebniss in der Form [mm] $\dot y_{(y)} [/mm] vorliegen, was durch Umformung direkt die Lösung ergeben müsste!
Könnte mir vielleicht noch jemand einen Tipp geben, wie ich den Therm
[mm] $\bruch{\dot y *d \dot y}{(1+\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=-g \cdot [/mm] dy$
integrieren kann (wahrscheinlich wiederum mit Substitution ?!?!)
Ich hoffe meine AUsführung ist halbwegs verständlich!
Vielen, vielen Dank! Lg
|
|
|
| |
|
Hallo mike1988,
> Hallo!
>
> @ notinX :
>
> Besten Dank!
>
> Mittels deinem Vorschlag zur Umformung und zur Substitution
> habe ich das Problem nun so weit gelöst - DANKE!
>
> Nun hätte ich allerdings noch eine weitere Frage zu diesem
> Beispiel:
>
> Wenn ich die Ausgangsgleichung betrachte:
>
> [mm]m\cdot{}\ddot y=-m\cdot{}g-k\cdot{}\dot y^2[/mm]
>
> benötige ich als Ergebniss ja eigentlich die Form [mm]\dot y_{(y)}[/mm]!
>
> Durch die Anwendung der zeitfreien Identität kann ich ja
> für [mm]\ddot y = \dot y * \bruch{d \dot y}{dy}[/mm] einsetzen!
>
> Nun erhalte ich folgende Differentialgleichung (selbiges
> Vorgehen wie bei meinem ersten Post vorausgesetzt):
>
> [mm]\dot y * \bruch{d \dot y}{dy}=g\cdot{}(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})[/mm]
>
> bzw. nach weiterer Umformung:
>
> [mm]\bruch{\dot y *d \dot y}{g\cdot{}(-1-\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=dy[/mm]
>
> [mm]\bruch{\dot y *d \dot y}{(1+\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=-g \cdot dy[/mm]
>
> Wenn ich es nun schaffen würde, dies zu integrieren,
> hätte ich als Ergebniss in der Form [mm]$\dot y_{(y)}[/mm]
> vorliegen, was durch Umformung direkt die Lösung ergeben
> müsste!
>
> Könnte mir vielleicht noch jemand einen Tipp geben, wie
> ich den Therm
>
> [mm]\bruch{\dot y *d \dot y}{(1+\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2})}=-g \cdot dy[/mm]
>
> integrieren kann (wahrscheinlich wiederum mit Substitution
> ?!?!)
>
Für die linke Seite hilft auf jeden Fall eine Substitution weiter.
Setze dazu [mm]z=1+\bruch{\dot y^2}{\alpha ^2}[/mm]
> Ich hoffe meine AUsführung ist halbwegs verständlich!
>
> Vielen, vielen Dank! Lg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 19.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Umformung in y'(y) seh ich nicht, aber dein Integral hat die form f'/f=(ln f)'
warum du y'(y) willst entgeht mir, wenn du y'(t) hast.
Gruss leduart
|
|
|
|
