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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 07.05.2013 | | Autor: | Nicky92 |
| Aufgabe | Lösen Sie die DGL [mm] f(x)=-6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}y [/mm] für f(x)=1.
a) Wie lautet die Störfunktion?
b) Wie lautet der Ansatz für die spezielle Lösung, wenn [mm] f(x)=e^{x}sin(x) [/mm] gilt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich bin beim Berechnen der obrigen Differentialgleichungen auf ein Problem gestoßen.
Und zwar weiß ich nicht, wie ich zur Lösung von Aufgabe b) komme.
Zum Aufgabenteil a) habe ich folgendes berechnet:
[mm] -6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}=1 |/(-6e^{2x})
[/mm]
=> [mm] y''-4'-5y=\bruch{1}{6}*e^{2x}
[/mm]
somit erhalte ich für die Störfunktion [mm] \bruch{1}{6}*e^{-2x}.
[/mm]
Aufgabe b)
[mm] -6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}y=e^{x}sin(x)
[/mm]
Mein Ansatz wäre nun [mm] yp(x)=C*e^{j(\beta*x+\gamma)}, [/mm] oder bin ich da auf dem falschem Weg?
Ich weiß auch nicht recht, wie ich mit diesem Ansatz rechnen soll...
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
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Hallo Nicky92,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie die DGL [mm]f(x)=-6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}y[/mm]
> für f(x)=1.
> a) Wie lautet die Störfunktion?
> b) Wie lautet der Ansatz für die spezielle Lösung, wenn
> [mm]f(x)=e^{x}sin(x)[/mm] gilt?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> ich bin beim Berechnen der obrigen Differentialgleichungen
> auf ein Problem gestoßen.
>
> Und zwar weiß ich nicht, wie ich zur Lösung von Aufgabe
> b) komme.
>
> Zum Aufgabenteil a) habe ich folgendes berechnet:
>
> [mm]-6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}=1 |/(-6e^{2x})[/mm]
>
> => [mm]y''-4'-5y=\bruch{1}{6}*e^{2x}[/mm]
>
> somit erhalte ich für die Störfunktion
> [mm]\bruch{1}{6}*e^{-2x}.[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aufgabe b)
>
> [mm]-6e^{2x}y''+24e^{2x}y'+30e^{2x}y=e^{x}sin(x)[/mm]
>
> Mein Ansatz wäre nun [mm]yp(x)=C*e^{j(\beta*x+\gamma)},[/mm] oder
> bin ich da auf dem falschem Weg?
Multipliziere die DGL zunächst mit [mm]e^{-2x}[/mm] durch.
Dann hast Du eine Störfunktion der Bauart [mm]e^{-x}*\sin\left(x\right)[/mm]
Der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet daher:
[mm]y_{p}\left{x}=c_{1}*e^{-x}*\sin\left(x\right)+c_{2}*e^{-x}*\cos\left(x\right)[/mm]
Und das nur, wenn die Störfunktion keine Lösung der homogenen DGL ist.
> Ich weiß auch nicht recht, wie ich mit diesem Ansatz
> rechnen soll...
>
Wenn Du allerdings die komplexe Rechnung bevorzugst,
dann ist die Störfunktion von der Bauart [mm]e^{x+j*x}[/mm]
Der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet dann: [mm]c*e^{-x+j*x}[/mm]
Diesen Ansatz setzt Du in die gegebene DGL ein.
Der Imaginärteil der Lösung [mm]c*e^{-x+j*x}[/mm]
ist dann die reelle partikuläre Lösung.
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Nicky92 |
Vielen Dank für deine ausführiche Antwort 
Eine Frage hätte ich aber noch, wie kommst du auf die Ansätze?
Ich arbeite mit der mathematischen Formelsammlung Papula und hab diesen
schon mehrmals durchgeblättert, finde aber die Lösungsansätze nicht :-(
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Hallo Nicky92,
> Vielen Dank für deine ausführiche Antwort
>
> Eine Frage hätte ich aber noch, wie kommst du auf die
> Ansätze?
> Ich arbeite mit der mathematischen Formelsammlung Papula
> und hab diesen
> schon mehrmals durchgeblättert, finde aber die
> Lösungsansätze nicht :-(
Na, du hast doch Internet ...
Eine blitzschnelle google-Suche ergibt etliche Treffer:
Etwa:
http://homepages.thm.de/~hg8070/math2kmub06/dgl_ansaetze.pdf
Gruß
schachuzipus
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Hallo Nicky92,
> Vielen Dank für deine ausführiche Antwort
>
> Eine Frage hätte ich aber noch, wie kommst du auf die
> Ansätze?
> Ich arbeite mit der mathematischen Formelsammlung Papula
> und hab diesen
> schon mehrmals durchgeblättert, finde aber die
> Lösungsansätze nicht :-(
Die Ansätze für die partikuläre Lösung bei einer linearen DGL
mit konstanten Koeffizienten sind immer nach der gegebenen
Störfunktion zu wählen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Nicky92 |
Das habe ich in der Klausur aber leider nicht 
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