Differentialgleichung 1. Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 15.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | | Berechnen Sie in Einzelschritten diejenige Lösung der Differentialgleichung [mm] $x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + xyy' = 0$, die durch den Punkt (1/1) geht. Geben Sie die Lösung in explizitier Forum an. (Hinweis: Setzen Sie $y=xu$) |
Hallöchen zusammen.
Ich habe das dumpfe Gefühl, das ich die Aufgabe nicht richtig gelöst habe. Allerdings finde ich keinen Fehler.
Würde mich freuen, wenn jemand mal einen Blick drauf werfen könnte.
In dem Hinweis der Aufgabe ist bereits eine Substitution vorgegeben.
$y=xu$
Daraus kann ich somit folgern, dass:
$y'=xu'+u$
Alles eingesetzt ergibt dies:
[mm] $x^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] * [mm] u^2 [/mm] + x*xu*(xu'+u)=0$
[mm] $x^2-x^2*u^2+x^3*u*u' [/mm] + [mm] x^2*u^2=0$
[/mm]
[mm] $x^2+x^3*u*u'=0$
[/mm]
$x*u*u'=-1$
[mm] $u'=-\bruch{1}{x*u}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x*u}$
[/mm]
$-x*u*du=dx$
[mm] $-\bruch{1}{2}u^2*x=x+C$
[/mm]
[mm] $u^2=-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x*C$
[/mm]
Resubstitution:
[mm] $y^2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}x^4 -\bruch{1}{2}x^3*C$[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mi 15.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie in Einzelschritten diejenige Lösung der
> Differentialgleichung [mm]x^2 - y^2 + xyy' = 0[/mm], die durch den
> Punkt (1/1) geht. Geben Sie die Lösung in explizitier
> Forum an. (Hinweis: Setzen Sie [mm]y=xu[/mm])
>
>
>
>
> Hallöchen zusammen.
>
> Ich habe das dumpfe Gefühl, das ich die Aufgabe nicht
> richtig gelöst habe. Allerdings finde ich keinen Fehler.
> Würde mich freuen, wenn jemand mal einen Blick drauf
> werfen könnte.
>
> In dem Hinweis der Aufgabe ist bereits eine Substitution
> vorgegeben.
> [mm]y=xu[/mm]
> Daraus kann ich somit folgern, dass:
> [mm]y'=xu'+u[/mm]
>
> Alles eingesetzt ergibt dies:
> [mm]x^2 - x^2 * u^2 + x*xu*(xu'+u)=0[/mm]
> [mm]x^2-x^2*u^2+x^3*u*u' + x^2*u^2=0[/mm]
>
> [mm]x^2+x^3*u*u'=0[/mm]
> [mm]x*u*u'=-1[/mm]
Hallo,
aus [mm]x^2+x^3*u*u'=0[/mm] folgt [mm] x^2=0 [/mm] oder > [mm]x*u*u'=-1[/mm]
> [mm]u'=-\bruch{1}{x*u}[/mm]
> [mm]-\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x*u}[/mm]
> [mm]-x*u*du=dx[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{2}u^2*x=x+C[/mm]
Hier muss der Rechenbefehl [mm] |*\bruch{-2}{x} [/mm] lauten.
Er führt zu
[mm] u^2=-2-\bruch{-2C}{x}
[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]u^2=-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x*C[/mm]
>
> Resubstitution:
>
> [mm]y^2 = -\bruch{1}{2}x^4 -\bruch{1}{2}x^3*C[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 15.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ah du hast recht.
Tut mir leid - ein recht dummer Fehler, wie ich finde.
Ich habe es mal verbessert (fange aber jetzt direkt bei der Integration an):
[mm] $\integral_{}^{}{-x*u*du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{dx}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{1}{2}u^2*x=x+C$
[/mm]
[mm] $u^2*x=-2x-2C$
[/mm]
[mm] $u^2=-2-\bruch{2C}{x}$
[/mm]
Resubstitution:
[mm] $y^2=-2x^2-2Cx$
[/mm]
[mm] $y=\wurzle{-2x^2-2Cx}$
[/mm]
Das wäre jetzt die allgemeine Lösung.
Ist das so richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht?
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> Ah du hast recht.
> Tut mir leid - ein recht dummer Fehler, wie ich finde.
>
> Ich habe es mal verbessert (fange aber jetzt direkt bei der
> Integration an):
>
> [mm]\integral_{}^{}{-x*u*du} = \integral_{}^{}{dx}[/mm]
links ist noch n x, das muss rüber zum [mm] \int [/mm] dx
>
> [mm]-\bruch{1}{2}u^2*x=x+C[/mm]
> [mm]u^2*x=-2x-2C[/mm]
> [mm]u^2=-2-\bruch{2C}{x}[/mm]
>
> Resubstitution:
>
> [mm]y^2=-2x^2-2Cx[/mm]
> [mm]y=\wurzle{-2x^2-2Cx}[/mm]
>
> Das wäre jetzt die allgemeine Lösung.
> Ist das so richtig? Oder habe ich einen Fehler gemacht?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Do 16.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Achso ich verstehe.
Aber ist es nicht prinzipiell egal auf welcher Seite das x steht?
Ob es jetzt links oder rechts integriert wird ist doch eigentlich egal, oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Achso ich verstehe.
> Aber ist es nicht prinzipiell egal auf welcher Seite das x
> steht?
> Ob es jetzt links oder rechts integriert wird ist doch
> eigentlich egal, oder irre ich mich?
Du sollst die var. trennen !
Du hast $xuu'=-1$, also
$udu= [mm] -\bruch{dx}{x}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 16.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ah ich verstehe.
$ [mm] \integral_{}^{}{udu} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{x}dx} [/mm] $
[mm] $\bruch{1}{2}u^2=-ln\left| x \right|+ln\left| C \right|$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{2}u^2=ln\left| C \right|-ln\left| x \right|$
[/mm]
[mm] $u^2=2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|$
[/mm]
Resubstitution:
[mm] $\bruch{y^2}{x^2}=2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|$
[/mm]
[mm] $y^2=2x^2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|$
[/mm]
Jetzt müsste es ja grundlegend stimmen oder?
Allerdings ist dies ja noch ziemlich "hässlich", allerdings sehe ich grad irgendwie nicht wie ich das vernünftig umformen kann.
Gibts vielleicht irgendwie eine Möglichkeit das ganze noch etwas zu vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah ich verstehe.
>
> [mm]\integral_{}^{}{udu} = \integral_{}^{}{-\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}u^2=-ln\left| x \right|+ln\left| C \right|[/mm]
Da Du das AWP y(1)=1 lösen sollst, kannst Du x>0 annehmen
Wa soll das denn : [mm] ln\left| C \right| [/mm] ?
>
> [mm]\bruch{1}{2}u^2=ln\left| C \right|-ln\left| x \right|[/mm]
>
> [mm]u^2=2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|[/mm]
Du erhälst: [mm] $u^2= [/mm] -2ln(x)+C$
Wegen y(1) = 1, ist u(1)=1, also C=1
Somit:
[mm] $u^2= [/mm] 1-2ln(x)$
FRED
>
> Resubstitution:
>
> [mm]\bruch{y^2}{x^2}=2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|[/mm]
>
> [mm]y^2=2x^2*ln\left| \bruch{C}{x} \right|[/mm]
>
> Jetzt müsste es ja grundlegend stimmen oder?
> Allerdings ist dies ja noch ziemlich "hässlich",
> allerdings sehe ich grad irgendwie nicht wie ich das
> vernünftig umformen kann.
> Gibts vielleicht irgendwie eine Möglichkeit das ganze
> noch etwas zu vereinfachen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Do 16.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Zitat aus Lothar Papulas Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2:
Bei der Integration einer Differentialgleichung treten häufig "logarithmische" Terme wie [mm] $ln\left| x \right|$, $ln\left| y \right|$ [/mm] usw auf. Es ist dann zweckmäßiger, die Integrationskonstante nicht in der üblichen Form, sondern in der logarithmischen Form [mm] $ln\left| C \right|$ [/mm] anzusetzen. Diese Schreibweise führ zu einem geringeren Arbeitsaufwand und ist erlaubt, da mit $C$ auch [mm] $ln\left| c \right|$ [/mm] alle reellen Zahlen durchläuft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zitat aus Lothar Papulas Mathematik für Ingenieure und
> Naturwissenschaftler Band 2:
>
> Bei der Integration einer Differentialgleichung treten
> häufig "logarithmische" Terme wie [mm]ln\left| x \right|[/mm],
> [mm]ln\left| y \right|[/mm] usw auf. Es ist dann zweckmäßiger, die
> Integrationskonstante nicht in der üblichen Form, sondern
> in der logarithmischen Form [mm]ln\left| C \right|[/mm] anzusetzen.
> Diese Schreibweise führ zu einem geringeren Arbeitsaufwand
> und ist erlaubt, da mit [mm]C[/mm] auch [mm]ln\left| c \right|[/mm] alle
> reellen Zahlen durchläuft.
Na klar, der Papula hat ja die Bibel geschrieben und die Mathematik neu erfunden .....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Do 16.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Warum direkt so eingeschnappt?
Ich bin im zweiten Semester und mein Professor hat mir dieses Buch empfohlen... Ich komme recht gut damit klar!
Natürlich weiß ich, dass das was er schreibt auf seiner Meinung beruht allerdings ist es keineswegs fehlerhaft was der gute Mann von sich gibt.
Von daher versteh ich deine Reaktion nicht wirklich.
Danke für die Hilfe! Hat mir viel geholfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Warum direkt so eingeschnappt?
Wer ? Ich ? nö !
FRED
>
> Ich bin im zweiten Semester und mein Professor hat mir
> dieses Buch empfohlen... Ich komme recht gut damit klar!
> Natürlich weiß ich, dass das was er schreibt auf seiner
> Meinung beruht allerdings ist es keineswegs fehlerhaft was
> der gute Mann von sich gibt.
> Von daher versteh ich deine Reaktion nicht wirklich.
>
> Danke für die Hilfe! Hat mir viel geholfen.
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