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| Aufgabe | | Aus der Gleichung [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] für einen Kreis vom Radius r leite man die Differnetialgleichung des Kreises ab. Man mache sich klar, dass r die Integrationskonstante ist, und dass aus der DGL unendlich viele Lösungen folgen, sofern r unspezifiziert gelassen wird. |
Nun...mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich keinen Ansatz finde.
Nach genauerem Durchlesen habe ich zumindest schon mal herausgefunden, dass ich irgendwas mit Integration machen muss. Doch das hilft mir nicht, da ich einfach nicht weiß, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Es wäre echt klasse, wenn mir jemand zumindest einen kleinen Tipp geben könnte, was ich als erstes machen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aus der Gleichung [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] für einen Kreis vom Radius r
> leite man die Differnetialgleichung des Kreises ab. Man
> mache sich klar, dass r die Integrationskonstante ist, und
> dass aus der DGL unendlich viele Lösungen folgen, sofern r
> unspezifiziert gelassen wird.
> Nun...mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich keinen
> Ansatz finde.
>
> Nach genauerem Durchlesen habe ich zumindest schon mal
> herausgefunden, dass ich irgendwas mit Integration machen
> muss. Doch das hilft mir nicht, da ich einfach nicht weiß,
> wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
> Es wäre echt klasse, wenn mir jemand zumindest einen
> kleinen Tipp geben könnte, was ich als erstes machen muss.
Du musst hier nicht integrieren, sondern ableiten.
Leite also die Gleichung beidseitig nach x ab. Bei
der Ableitung von [mm] y^2 [/mm] brauchst du dabei die Kettenregel.
In der abgeleiteten Gleichung tritt deshalb auch [mm] y'=\frac{dy}{dx} [/mm]
auf. Löse nach diesem y' auf, und du hast die gesuchte
Differentialgleichung.
LG Al-Chw.
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wenn ich beide seiten nach x ableite, führt dass doch zu y = 0 und r = 0?
oder muss ich y und r ersetzen? zum beispiel für y: [mm] (y1+y2)^2 [/mm] ?
Steh grad ein bisschen auf der Leitung ^^
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$\ [mm] x^2+(y(x))^2\ [/mm] =\ [mm] r^2$ [/mm] (r konstant, y von x abhängig)
führt nach x abgeleitet zu
$\ 2*x+2*y(x)*y'(x)\ =\ 0$
halbiert:
$\ x+y(x)*y'(x)\ =\ 0$
nach y' aufgelöst:
$\ y'(x)\ =\ [mm] \frac{-x}{y(x)}$
[/mm]
ohne Variable notiert:
$\ y'\ =\ [mm] \frac{-x}{y}$
[/mm]
(diese DGL ist natürlich nur in Punkten mit [mm] y\not=0
[/mm]
brauchbar, also nicht in den Schnittpunkten
des Kreises mit der x-Achse !)
LG Al-Chw.
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Ich danke dir für deine Hilfe. Hast mir echt weiter geholfen.
Das r kann man vernachlässigen, weil ja in der aufgabenstellung steht, dass unendlich viele lösungen folgen, solange r unspezifiziert gelassen wird. oder?
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> Ich danke dir für deine Hilfe. Hast mir echt weiter
> geholfen.
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> Das r kann man vernachlässigen, weil ja in der
> aufgabenstellung steht, dass unendlich viele lösungen
> folgen, solange r unspezifiziert gelassen wird. oder?
Die unendlich vielen Lösungskurven der DGL sind
alle oberen und alle unteren Halbkreise mit Mittel-
punkt M(0/0) in der x-y-Ebene. Der Radius einer
bestimmten Lösungskurve wird erst durch eine
konkrete Anfangsbedingung (Vorgabe eines Punktes
genügt) festgelegt.
LG und schönen Abend!
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