Differentialgleichung alle Lsg < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die DGL:
[mm]y'(x) = f(x,y) := -x*g(y)[/mm]
mit [mm]g(y) = \begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y \ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm].
Man gebe alle Lösungen dieser DGL an, und begründe insbesondere, warum y = 0 die einzige Lösung mit der Anfangsbedingung y(0) = 0 ist. |
Hallo!
Bei der Aufgabe oben komme ich nicht so recht weiter. Ich habe eine Möglichkeit gefunden, die Eindeutigkeit der Lösung im Fall der Anfangsbedingung y(0) = 0 zu zeigen, aber wie die Lösungen im Allgemeinen aussehen, weiß ich nicht.
Folgendes habe ich mir überlegt (also wenn keine Anfangsbedingung vorgegeben ist, so verstehe ich die Aufgabe zumindest):
1. Wenn es ein [mm]x_0\in \IR[/mm] gibt, so dass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm], dann gibt es wegen Stetigkeit von y auch eine kleine Umgebung von [mm] x_0, [/mm] in der y(x) > 0 gilt. D.h. dort gilt die DGL [mm]y'(x) = -x*\sqrt{y}[/mm], Trennung der Variablen liefert:
[mm]\int_{y_0}^{y} \frac{1}{\sqrt{s}} ds = \int_{x_0}^{x} - t dt[/mm]
[mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
Es gilt dann also stets $y(x) [mm] \ge [/mm] 0$. Die Funktion hat zwei Minima (= doppelte Nullstellen) bei $x = [mm] \pm \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}$. [/mm] Der Satz über Trennung der Variablen liefert die Eindeutigkeit der Lösung y(x) zwischen den beiden Nullstellen.
Ab diesen Stellen kann die Funktion y(x) dann entweder weiter dem oben angegebenem Verlauf folgen oder aber sie geht über zur konstanten Funktion y = 0, oder es passiert etwas anderes... wie kann ich hier weitermachen, um andere Lösungen auszuschließen?
1. y(0) = c mit [mm] $c\in\IR$ [/mm] , $c [mm] \le [/mm] 0$ ist immer eine Lösung der DGL.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
> Gegeben sei die DGL:
>
> [mm]y'(x) = f(x,y) := -x*g(y)[/mm]
>
> mit [mm]g(y) = \begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y \ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm].
>
> Man gebe alle Lösungen dieser DGL an, und begründe
> insbesondere, warum y = 0 die einzige Lösung mit der
> Anfangsbedingung y(0) = 0 ist.
>
> Hallo!
>
> Bei der Aufgabe oben komme ich nicht so recht weiter. Ich
> habe eine Möglichkeit gefunden, die Eindeutigkeit der
> Lösung im Fall der Anfangsbedingung y(0) = 0 zu zeigen,
> aber wie die Lösungen im Allgemeinen aussehen, weiß ich
> nicht.
>
> Folgendes habe ich mir überlegt (also wenn keine
> Anfangsbedingung vorgegeben ist, so verstehe ich die
> Aufgabe zumindest):
>
> 1. Wenn es ein [mm]x_0\in \IR[/mm] gibt, so dass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm],
> dann gibt es wegen Stetigkeit von y auch eine kleine
> Umgebung von [mm]x_0,[/mm] in der y(x) > 0 gilt. D.h. dort gilt die
> DGL [mm]y'(x) = -x*\sqrt{y}[/mm], Trennung der Variablen liefert:
>
> [mm]\int_{y_0}^{y} \frac{1}{\sqrt{s}} ds = \int_{x_0}^{x} - t dt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
>
> Es gilt dann also stets [mm]y(x) \ge 0[/mm]. Die Funktion hat zwei
> Minima (= doppelte Nullstellen) bei [mm]x = \pm \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}[/mm].
> Der Satz über Trennung der Variablen liefert die
> Eindeutigkeit der Lösung y(x) zwischen den beiden
> Nullstellen.
>
> Ab diesen Stellen kann die Funktion y(x) dann entweder
> weiter dem oben angegebenem Verlauf folgen oder aber sie
> geht über zur konstanten Funktion y = 0, oder es passiert
> etwas anderes... wie kann ich hier weitermachen, um andere
> Lösungen auszuschließen?
Betrachte hier zunächst den Zwischenschritt:
[mm]2*\wurzel{y}-2*\wurzel{y_{0}}=\bruch{1}{2}*x_{0}^{2}-\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]2*\wurzel{y}=2*\wurzel{y_{0}}+\bruch{1}{2}*x_{0}^{2}-\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
Definiert man jetzt
[mm]C_{1}:=2*\wurzel{y_{0}}+\bruch{1}{2}*x_{0}^{2}[/mm]
so ergibt sich
[mm]2*\wurzel{y}=C_{1}-\bruch{1}{2}*x^{2}[/mm]
Daraus ergibt sich das Lösungintervall,
d.h Lösungen kann es nur geben, wenn
[mm]C_{1}-\bruch{1}{2}*x^{2} \ge 0[/mm]
Setzt Du hier die Anfangsbedingung ein,
so erhältst Du dann das Lösungsintervall.
>
> 1. y(0) = c mit [mm]c\in\IR[/mm] , [mm]c \le 0[/mm] ist immer eine Lösung
> der DGL.
>
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort!
> > [mm]y'(x) = f(x,y) := -x*g(y)[/mm]
> >
> > mit [mm]g(y) = \begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y \ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm].
>
> > 1. Wenn es ein [mm]x_0\in \IR[/mm] gibt, so dass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm],
> > dann gibt es wegen Stetigkeit von y auch eine kleine
> > Umgebung von [mm]x_0,[/mm] in der y(x) > 0 gilt. D.h. dort gilt die
> > DGL [mm]y'(x) = -x*\sqrt{y}[/mm], Trennung der Variablen liefert:
> >
> > [mm]\int_{y_0}^{y} \frac{1}{\sqrt{s}} ds = \int_{x_0}^{x} - t dt[/mm]
>
> > [mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
----
> Daraus ergibt sich das Lösungintervall,
> d.h Lösungen kann es nur geben, wenn
>
> [mm]C_{1}-\bruch{1}{2}*x^{2} \ge 0[/mm]
Danke, ich habe irgendwie einfach drauflos quadiert...
D.h. y(x) ist dann Lösung der DGL im Intervall [-D,D] mit [mm] $D:=\sqrt{4\sqrt{y_0} + x_0^2}$. [/mm] Außerhalb dieses Intervalls kann $y(x)$ von oben keine Lösung sein, innerhalb des Intervalls ist es die eindeutige Lösung (nach Satz von der Trennung der Variablen).
Aber wie geht die Lösung dann außerhalb des Intervalls weiter? Kann ich darüber etwas aussagen? Ich soll ja alle möglichen Lösungen der DGL angeben, Anfangsbedingungen sind nicht vorgegeben...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
>
> Hallo Mathepower,
>
> danke für deine Antwort!
>
>
> > > [mm]y'(x) = f(x,y) := -x*g(y)[/mm]
> > >
> > > mit [mm]g(y) = \begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y \ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm].
>
> >
>
> > > 1. Wenn es ein [mm]x_0\in \IR[/mm] gibt, so dass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm],
> > > dann gibt es wegen Stetigkeit von y auch eine kleine
> > > Umgebung von [mm]x_0,[/mm] in der y(x) > 0 gilt. D.h. dort gilt die
> > > DGL [mm]y'(x) = -x*\sqrt{y}[/mm], Trennung der Variablen liefert:
> > >
> > > [mm]\int_{y_0}^{y} \frac{1}{\sqrt{s}} ds = \int_{x_0}^{x} - t dt[/mm]
>
> >
> > > [mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
>
> ----
>
> > Daraus ergibt sich das Lösungintervall,
> > d.h Lösungen kann es nur geben, wenn
> >
> > [mm]C_{1}-\bruch{1}{2}*x^{2} \ge 0[/mm]
>
> Danke, ich habe irgendwie einfach drauflos quadiert...
>
> D.h. y(x) ist dann Lösung der DGL im Intervall [-D,D] mit
> [mm]D:=\sqrt{4\sqrt{y_0} + x_0^2}[/mm]. Außerhalb dieses Intervalls
> kann [mm]y(x)[/mm] von oben keine Lösung sein, innerhalb des
> Intervalls ist es die eindeutige Lösung (nach Satz von der
> Trennung der Variablen).
>
> Aber wie geht die Lösung dann außerhalb des Intervalls
> weiter? Kann ich darüber etwas aussagen? Ich soll ja alle
Natürlich kannst Du darüber etwas aussagen.
An den Intervallenden ist der Funktionswert y=0.
Demnach ist y=0 die Lösung ausserhalb des Intervalls.
> möglichen Lösungen der DGL angeben, Anfangsbedingungen
> sind nicht vorgegeben...
>
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
vielen Dank für deine Antwort!
> > > > [mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
> > D.h. y(x) ist dann Lösung der DGL im Intervall [-D,D] mit
> > [mm]D:=\sqrt{4\sqrt{y_0} + x_0^2}[/mm]. Außerhalb dieses Intervalls
> > kann [mm]y(x)[/mm] von oben keine Lösung sein, innerhalb des
> > Intervalls ist es die eindeutige Lösung (nach Satz von der
> > Trennung der Variablen).
> An den Intervallenden ist der Funktionswert y=0.
> Demnach ist y=0 die Lösung ausserhalb des Intervalls.
Ich verstehe nicht, wieso das folgt.
Könnte es nicht sein, dass einfach wieder so eine Funktion y(x) der obigen Form an der Nullstelle losgeht? (also eine Art Periode). Oder ist das dann ein Widerspruch zu irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen?
Wenn so eine "Fortsetzung" nicht möglich ist, verstehe ich, warum y = 0 die einzige mögliche Fortsetzung ist.
-----
Bedeutet das, man kann durch folgende Skizze alle Lösungen beschreiben:
1. y ist <= 0 für alle x: Dann folgt y ist konstant.
2. Es gibt eine Stelle [mm] x_0, [/mm] an der [mm] y(x_0) [/mm] > 0 gilt. Dann hat y(x) das obige Aussehen, und außerhalb des Intervalls D ist es die konstant fortgesetzte Nullfunktion?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
>
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
>
> > > > > [mm]\Rightarrow y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm].
>
> > > D.h. y(x) ist dann Lösung der DGL im Intervall [-D,D] mit
> > > [mm]D:=\sqrt{4\sqrt{y_0} + x_0^2}[/mm]. Außerhalb dieses Intervalls
> > > kann [mm]y(x)[/mm] von oben keine Lösung sein, innerhalb des
> > > Intervalls ist es die eindeutige Lösung (nach Satz von der
> > > Trennung der Variablen).
>
>
> > An den Intervallenden ist der Funktionswert y=0.
> > Demnach ist y=0 die Lösung ausserhalb des Intervalls.
>
> Ich verstehe nicht, wieso das folgt.
> Könnte es nicht sein, dass einfach wieder so eine
> Funktion y(x) der obigen Form an der Nullstelle losgeht?
> (also eine Art Periode). Oder ist das dann ein Widerspruch
> zu irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen?
>
> Wenn so eine "Fortsetzung" nicht möglich ist, verstehe
> ich, warum y = 0 die einzige mögliche Fortsetzung ist.
>
y=0 ist für alle [mm]x \in \IR[/mm] auch eine Lösung der DGL.
>
> -----
>
>
> Bedeutet das, man kann durch folgende Skizze alle Lösungen
> beschreiben:
>
> 1. y ist <= 0 für alle x: Dann folgt y ist konstant.
> 2. Es gibt eine Stelle [mm]x_0,[/mm] an der [mm]y(x_0)[/mm] > 0 gilt. Dann
> hat y(x) das obige Aussehen, und außerhalb des Intervalls
> D ist es die konstant fortgesetzte Nullfunktion?
>
So ist es.
>
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
danke für deine Korrektur!
> > Könnte es nicht sein, dass einfach wieder so eine
> > Funktion y(x) der obigen Form an der Nullstelle losgeht?
> > (also eine Art Periode). Oder ist das dann ein Widerspruch
> > zu irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen?
Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen Wert [mm] \not= [/mm] 0 annimmt?
> > 1. y ist <= 0 für alle x: Dann folgt y ist konstant.
> > 2. Es gibt eine Stelle [mm]x_0,[/mm] an der [mm]y(x_0)[/mm] > 0 gilt.
> Dann
> > hat y(x) das obige Aussehen, und außerhalb des Intervalls
> > D ist es die konstant fortgesetzte Nullfunktion.
Kann man mit Hilfe dieser Aussagen irgendwie leichter beweisen, dass y(0) = 0 eine eindeutige Lösung hat, oder bedarf es da eines völlig neuen Beweises? Meiner geht bisher ungefähr so: (z.z. y [mm]\equiv[/mm] 0 ist die einzige Lösung)
Ang. es gäbe eine Lösung y, die nicht konstant 0 ist. Dann gibt es ein [mm] x_0\in\IR, [/mm] so dass gilt:
- Entweder für alle x zwischen 0 und [mm] x_0: $y(x_0) \ge [/mm] 0$
- oder für alle x zwischen 0 und [mm] x_0: $y(x_0) \le [/mm] 0$.
Dann (weil y stetig db.) gilt nach Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
[mm] $\frac{y(x_0)}{x_0}\frac{y(x_0) - y(0)}{x_0 - 0 } [/mm] = [mm] y'(\xi) [/mm] = [mm] -\xi \cdot g(y(\xi))$,
[/mm]
mit [mm] $\xi$ [/mm] zwischen 0 und [mm] x_0. [/mm] Nun macht man einige Fallunterscheidungen [mm] (x_0 [/mm] > 0, [mm] x_0 [/mm] < 0, [mm] y_0 [/mm] > 0, [mm] y_0 [/mm] < 0) und kommt jeweils zu einem Widerspruch.
----
Gibt es da einen besseren Beweis?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
>
> Hallo Mathepower,
>
> danke für deine Korrektur!
>
> > > Könnte es nicht sein, dass einfach wieder so eine
> > > Funktion y(x) der obigen Form an der Nullstelle losgeht?
> > > (also eine Art Periode). Oder ist das dann ein Widerspruch
> > > zu irgendwelchen Eindeutigkeitssätzen?
>
> Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese
> Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die
> Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen
> Wert [mm]\not=[/mm] 0 annimmt?
>
Weil die Lösung y der gegebenen DGL genügen muss.
(Hier betrachten wir den Fall [mm]y \ge 0[/mm])
>
> > > 1. y ist <= 0 für alle x: Dann folgt y ist konstant.
> > > 2. Es gibt eine Stelle [mm]x_0,[/mm] an der [mm]y(x_0)[/mm] > 0 gilt.
> > Dann
> > > hat y(x) das obige Aussehen, und außerhalb des Intervalls
> > > D ist es die konstant fortgesetzte Nullfunktion.
>
>
> Kann man mit Hilfe dieser Aussagen irgendwie leichter
> beweisen, dass y(0) = 0 eine eindeutige Lösung hat, oder
> bedarf es da eines völlig neuen Beweises? Meiner geht
Aus der Kennntnis von y(0)=0 und der Lösungen
kann bewiesen werden, daß y=0 die einzige Lösung ist.
> bisher ungefähr so: (z.z. y [mm]\equiv[/mm] 0 ist die einzige
> Lösung)
>
> Ang. es gäbe eine Lösung y, die nicht konstant 0 ist.
> Dann gibt es ein [mm]x_0\in\IR,[/mm] so dass gilt:
>
> - Entweder für alle x zwischen 0 und [mm]x_0:[/mm] [mm]y(x_0) \ge 0[/mm]
> -
> oder für alle x zwischen 0 und [mm]x_0:[/mm] [mm]y(x_0) \le 0[/mm].
>
> Dann (weil y stetig db.) gilt nach Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung:
>
> [mm]\frac{y(x_0)}{x_0}\frac{y(x_0) - y(0)}{x_0 - 0 } = y'(\xi) = -\xi \cdot g(y(\xi))[/mm],
>
> mit [mm]\xi[/mm] zwischen 0 und [mm]x_0.[/mm] Nun macht man einige
> Fallunterscheidungen [mm](x_0[/mm] > 0, [mm]x_0[/mm] < 0, [mm]y_0[/mm] > 0, [mm]y_0[/mm] < 0)
> und kommt jeweils zu einem Widerspruch.
>
> ----
>
> Gibt es da einen besseren Beweis?
>
> Grüße,
> Stefan
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich möchte nochmal nachfragen, weil ich mir nicht sicher bin ob wir von demselben reden:
> > Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese
> > Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die
> > Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen
> > Wert [mm]\not=[/mm] 0 annimmt?
>
> Weil die Lösung y der gegebenen DGL genügen muss.
> (Hier betrachten wir den Fall [mm]y \ge 0[/mm])
DGL: $y' = -x*g(y)$ mit [mm] $g(y):=\begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y\ge 0\\ 0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}$
[/mm]
Ich hatte den Fall angenommen, dass ein [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ex. sodass [mm] $y(x_0) [/mm] = [mm] y_0 [/mm] > 0$, und dann herausgefunden dass es eine Lösung $y(x) = [mm] \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2} [/mm] $ gibt, die aber nur auf $[-D,D]$ mit $D = [mm] \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}$ [/mm] existiert.
Ich möchte nun wissen: Wieso ist es NICHT möglich, dass außerhalb von $[-D,D]$ nochmal ein Punkt [mm] $x_1$ [/mm] existiert mit [mm] $y(x_1) [/mm] = [mm] y_1 [/mm] > 0$, sodass man auf einem Intervall $[-D', D']$ (der Einfachheit halber disjunkt mit $[-D,D]$) nochmal eine Lösung $y(x) = [mm] \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2} [/mm] $ erhält.
Wieso gibt es also nicht Lösungen der Form:
$y(x) = [mm] \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\ \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', D']\\ 0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}$
[/mm]
?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
> Hallo,
>
> ich möchte nochmal nachfragen, weil ich mir nicht sicher
> bin ob wir von demselben reden:
>
> > > Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese
> > > Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die
> > > Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen
> > > Wert [mm]\not=[/mm] 0 annimmt?
> >
> > Weil die Lösung y der gegebenen DGL genügen muss.
> > (Hier betrachten wir den Fall [mm]y \ge 0[/mm])
>
> DGL: [mm]y' = -x*g(y)[/mm] mit [mm]g(y):=\begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y\ge 0\\ 0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm]
>
> Ich hatte den Fall angenommen, dass ein [mm]x_0 \in \IR[/mm] ex.
> sodass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm], und dann herausgefunden dass es
> eine Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> gibt, die aber nur auf [mm][-D,D][/mm] mit [mm]D = \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}[/mm]
> existiert.
>
> Ich möchte nun wissen: Wieso ist es NICHT möglich, dass
> außerhalb von [mm][-D,D][/mm] nochmal ein Punkt [mm]x_1[/mm] existiert mit
> [mm]y(x_1) = y_1 > 0[/mm], sodass man auf einem Intervall [mm][-D', D'][/mm]
> (der Einfachheit halber disjunkt mit [mm][-D,D][/mm]) nochmal eine
> Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> erhält.
>
> Wieso gibt es also nicht Lösungen der Form:
>
> [mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\ \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', D']\\ 0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> ?
Eine solche Lösung gibt es nicht, da [mm]\left[-D,D\right] \subset \left[-D',D'\right][/mm]
Vielmehr müßte die Lösung dann so lauten:
[mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\ \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', -D] \cup [D,D'] \\ 0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort!
> Hallo steppenhahn,
>
> > Hallo,
> >
> > ich möchte nochmal nachfragen, weil ich mir nicht sicher
> > bin ob wir von demselben reden:
> >
> > > > Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese
> > > > Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die
> > > > Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen
> > > > Wert [mm]\not=[/mm] 0 annimmt?
> > >
> > > Weil die Lösung y der gegebenen DGL genügen muss.
> > > (Hier betrachten wir den Fall [mm]y \ge 0[/mm])
> >
> > DGL: [mm]y' = -x*g(y)[/mm] mit [mm]g(y):=\begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y\ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Ich hatte den Fall angenommen, dass ein [mm]x_0 \in \IR[/mm] ex.
> > sodass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm], und dann herausgefunden dass es
> > eine Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> > gibt, die aber nur auf [mm][-D,D][/mm] mit [mm]D = \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}[/mm]
> > existiert.
> >
> > Ich möchte nun wissen: Wieso ist es NICHT möglich, dass
> > außerhalb von [mm][-D,D][/mm] nochmal ein Punkt [mm]x_1[/mm] existiert mit
> > [mm]y(x_1) = y_1 > 0[/mm], sodass man auf einem Intervall [mm][-D', D'][/mm]
> > (der Einfachheit halber disjunkt mit [mm][-D,D][/mm]) nochmal eine
> > Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> > erhält.
> >
> > Wieso gibt es also nicht Lösungen der Form:
> >
> > [mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\
\left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', D']\\
0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > ?
>
>
> Eine solche Lösung gibt es nicht, da [mm]\left[-D,D\right] \subset \left[-D',D'\right][/mm]
ok, das verstehe ich.
> Vielmehr müßte die Lösung dann so lauten:
>
> [mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\
\left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', -D] \cup [D,D'] \\
0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
>
...und das geht nicht, weil sie dann nicht stetig differenzierbar wäre?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo steppenhahn,
>
> Hallo Mathepower,
>
> danke für deine Antwort!
>
>
> > Hallo steppenhahn,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich möchte nochmal nachfragen, weil ich mir nicht sicher
> > > bin ob wir von demselben reden:
> > >
> > > > > Ich wollte nochmal darauf zurückkommen, also auf diese
> > > > > Eindeutigkeitssätze. Wieso kann es nicht sein, dass die
> > > > > Funktion y(x) außerhalb des Intervalls D nochmal einen
> > > > > Wert [mm]\not=[/mm] 0 annimmt?
> > > >
> > > > Weil die Lösung y der gegebenen DGL genügen
> muss.
> > > > (Hier betrachten wir den Fall [mm]y \ge 0[/mm])
> > >
> > > DGL: [mm]y' = -x*g(y)[/mm] mit [mm]g(y):=\begin{cases}\sqrt{y}, \quad\quad y\ge 0\\
0, \quad\quad\quad y \le 0\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich hatte den Fall angenommen, dass ein [mm]x_0 \in \IR[/mm] ex.
> > > sodass [mm]y(x_0) = y_0 > 0[/mm], und dann herausgefunden dass es
> > > eine Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> > > gibt, die aber nur auf [mm][-D,D][/mm] mit [mm]D = \sqrt{x_0^2 + 4\sqrt{y_0}}[/mm]
> > > existiert.
> > >
> > > Ich möchte nun wissen: Wieso ist es NICHT möglich, dass
> > > außerhalb von [mm][-D,D][/mm] nochmal ein Punkt [mm]x_1[/mm] existiert mit
> > > [mm]y(x_1) = y_1 > 0[/mm], sodass man auf einem Intervall [mm][-D', D'][/mm]
> > > (der Einfachheit halber disjunkt mit [mm][-D,D][/mm]) nochmal eine
> > > Lösung [mm]y(x) = \left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}[/mm]
> > > erhält.
> > >
> > > Wieso gibt es also nicht Lösungen der Form:
> > >
> > > [mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\
\left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', D']\\
0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > ?
> >
> >
> > Eine solche Lösung gibt es nicht, da [mm]\left[-D,D\right] \subset \left[-D',D'\right][/mm]
>
> ok, das verstehe ich.
>
> > Vielmehr müßte die Lösung dann so lauten:
> >
> > [mm]y(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}x_0^2 + \sqrt{y_0} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D,D]\\
\left(\frac{1}{4}x_1^2 + \sqrt{y_1} - \frac{1}{4}x^2\right)^{2}, \quad\quad x\in [-D', -D] \cup [D,D'] \\
0 \quad\quad\quad\quad \mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> >
> >
>
> ...und das geht nicht, weil sie dann nicht stetig
> differenzierbar wäre?
>
Richtig, insbesondere an [mm]\pm D[/mm] ist sie nicht stetig.
>
> Grüße,
> Stefan
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke Mathepower,
jetzt ist mir alles klar 
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
