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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:24 So 08.01.2006 | | Autor: | stam |
| Aufgabe | Finden Sie die Lösung folgender seperabler DGL 1.Ordnung:
[mm]y'=\bruch{x+y-2}{3x-y-2}[/mm]
Tipp: Bringen sie die DGL auf die Form:
[mm]y'=g(\bruch{y}{x})[/mm] |
Hallo,
Ich denke, dass dies eine DGL der Form:
[mm]y'=g(\bruch{a*x+b*y+c}{d*x+e*y+f})[/mm]
ist. Diese Gleichung kann man meines Wissens doch mit Hilfe eines Gleichungssystems lösen.
Mein Gleichungssystem:
[mm]1*x_0+1*y_0-2=0[/mm]
[mm]3*x_0-1*y_0-2=0[/mm]
bringt [mm]x_0=1[/mm]
und [mm]y_0=1[/mm]
als Lösungen.
Jetzt kann ich sagen, das gilt:
[mm]\overline{x}=x-1[/mm] und
[mm]\overline{y}=y-1[/mm]
So, jetzt müsste man doch eine Formel für [mm]\overline{y}'[/mm] aufstellen können, aber wie rechnet man weiter? Oder ist der Ansatz falsch?
MFG Stam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stam,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Finden Sie die Lösung folgender seperabler DGL 1.Ordnung:
> [mm]y'=\bruch{x+y-2}{3x-y-2}[/mm]
> Tipp: Bringen sie die DGL auf die Form:
> [mm]y'=g(\bruch{y}{x})[/mm]
> Hallo,
> Ich denke, dass dies eine DGL der Form:
> [mm]y'=g(\bruch{a*x+b*y+c}{d*x+e*y+f})[/mm]
> ist. Diese Gleichung kann man meines Wissens doch mit
> Hilfe eines Gleichungssystems lösen.
> Mein Gleichungssystem:
> [mm]1*x_0+1*y_0-2=0[/mm]
> [mm]3*x_0-1*y_0-2=0[/mm]
> bringt [mm]x_0=1[/mm]
> und [mm]y_0=1[/mm]
> als Lösungen.
> Jetzt kann ich sagen, das gilt:
> [mm]\overline{x}=x-1[/mm] und
> [mm]\overline{y}=y-1[/mm]
>
> So, jetzt müsste man doch eine Formel für [mm]\overline{y}'[/mm]
> aufstellen können, aber wie rechnet man weiter? Oder ist
> der Ansatz falsch?
der Ansatz ist ganz richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Forme die beiden Gleichungen nach [mm]\overline{y}[/mm] bzw. [mm]\overline{x}[/mm] ein, und setze das in die DGL ein.
Dann erhältst Du eine DGL der Form
[mm]\bruch{d\overline{y}}{d\overline{x}}\;=g(\overline{x},\;\overline{y})[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 08.01.2006 | | Autor: | stam |
Hallo,
Vielen Dank erstmal für die Anwort,
allerdings ist mir leider etwas trotzdem nicht ganz klar geworden.
> Forme die beiden Gleichungen nach [mm]\overline{y}[/mm] bzw.
> [mm]\overline{x}[/mm] ein, und setze das in die DGL ein.
Was soll ich jetzt genau wie umformen? Bzw. was bedeutet "einformen"?
LG
Stam
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Hallo Stam,
Du sollst einfach in die Ausgangs DGL einsetzen
[mm] x=\overline{x}+1
[/mm]
[mm] y=\overline{y}+1
[/mm]
[mm] \overline{y}(\overline{x})^{'}=(y(x-1)-1)'=y(x-1)'
[/mm]
Also ist die neue DGL
[mm] \overline{y}(\overline{x})^{}'=y(\overline{x})^{'}=\bruch{\overline{x}+1+\overline{y}+1-2}{3*(\overline{x}+1)-(\overline{y}+1)-2}
[/mm]
Das ist dann ein DGL [mm] \overline{y}^{'}=g(\bruch{\overline{y}}{\overline{x}}) [/mm]
Die dann durch weitere Substitution [mm] u=\bruch{\overline{y}}{\overline{x}} [/mm] zu lösen wäre.
viele Grüße
mathemaduenn
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