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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Ich hätte da mal ne Frage zu nem Lösungsweg von mir ...
Also, gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems
y'=2y-y² (*) mit y(0)=0.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=2*y-y^{2}
[/mm]
[mm] \leftrightarrow
$(2*y-y^{2})^{-1}dy=dx$
Dann habe ich auf beiden Seiten y und x durch t substituiert und integriert (links in den Grenzen 1 und y und rechts in den Grenzen 0 und x).
Als Ergebnis folgt:
\bruch{1}{2}ln(y)-\bruch{1}{2}ln(y-2)=x
Umformen nach y liefert als Lösung der DGL:
y=\bruch{^2*e^{2*x}}{e^{2*x}-1} (**)
Diese Gleichung als Lösung eingesetzt in (*) ergibt auch das richtige Ergebnis, d.h. ich kann verifizieren, dass diese Gleichung die DGL löst.
Nur hab ich ein Problem mit meiner Anfangsbedingung.
Setzte ich nämlich in (**) x=0 so wird der Nenner zu 0, was erstens nicht 1 ergibt und zweitens sowieso nicht erlaubt ist?
Würde mich freuen wenn mich jemand auf evtl. Fehler hinweist!
Lg, Kübi
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kuebi
> Also, gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems
>
> y'=2y-y² (*) mit y(0)=0.
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=2*y-y^{2}[/mm]
>
> [mm]\leftrightarrow
[/mm] [mm](2*y-y^{2})^{-1}dy=dx[/mm]
Das geht nur unter der Vors. [mm] y\ne [/mm] 0
Deshalb kriegst du keine Lösung mehr für y(0)=0
wenn y(0)=0 folt y'(0)=0 und alle höheren Ableitungen von y auch.
d.h. du hast die Losung y(x)=0, die erfüült die Gleichung und die Anfangsbed.
> Dann habe ich auf beiden Seiten y und x durch t
> substituiert und integriert (links in den Grenzen 1 und y
> und rechts in den Grenzen 0 und x).
Wieso kommst du auf die untere Grenze 1 bei y ? y(0)=0 steht bei dir!
> Als Ergebnis folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}ln(y)-\bruch{1}{2}ln(y-2)=x[/mm]
>
> Umformen nach y liefert als Lösung der DGL:
>
> [mm]y=\bruch{^2*e^{2*x}}{e^{2*x}-1}[/mm] (**)
>
> Diese Gleichung als Lösung eingesetzt in (*) ergibt auch
> das richtige Ergebnis, d.h. ich kann verifizieren, dass
> diese Gleichung die DGL löst.
> Nur hab ich ein Problem mit meiner Anfangsbedingung.
>
> Setzte ich nämlich in (**) x=0 so wird der Nenner zu 0, was
> erstens nicht 1 ergibt und zweitens sowieso nicht erlaubt
> ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo ihr!
Leider bin ich bei der Frage zwischen zwei Aufgaben verrutscht!
Die Bedingung des AWP ist nicht y(0)=0 sonder y(0)=1, daher auch die Integrationsgrenzen
Die Lsg. y(x)=0 fällt ja nun leider weg, dass sie y(0)=1 nicht erfüllt und die Gleichung auch nicht!
Wie verhält es sich dann mit dieser DGL?
Vielen Dank im Vorab!
Kübi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kübi
[/mm] [mm](2*y-y^{2})^{-1}dy=dx[/mm]
>
> Dann habe ich auf beiden Seiten y und x durch t
> substituiert und integriert (links in den Grenzen 1 und y
> und rechts in den Grenzen 0 und x).
>
> Als Ergebnis folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}ln(y)-\bruch{1}{2}ln(y-2)=x[/mm]
Hier liegt ein Vorzeichenfehler!
richtig ist [mm]\bruch{1}{2}ln(y)-\bruch{1}{2}ln(2-y)=x[/mm]
> Umformen nach y liefert als Lösung der DGL:
>
> [mm]y=\bruch{^2*e^{2*x}}{e^{2*x}-1}[/mm] (**)
dann folgt :
[mm]y=\bruch{^2*e^{2*x}}{e^{2*x}+1}[/mm]
Und alles ist in Butter!
(Sehr ärgerlich sind falsch Fragen im posting! Damit verbring ich dann Denk und Schreibzeit! nächstes Mal spar ich die dann indem ich nicht mehr antworte!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo leduart!
Danke für die Antworten!
> (Sehr ärgerlich sind falsch Fragen im posting! Damit verbring ich dann
> Denk und Schreibzeit! nächstes Mal spar ich die dann indem ich nicht
> mehr antworte!)
Bzgl. deines Kommentars: Ich bin der Meinung "Irren ist menschlich" und Tippfehler passieren! Und ich versuche sie natürlich stets zu vermeiden!
Ich finde es schade, gleich mit der Blockade solcher Fragen zu reagieren. Denn in meinem Fall hat mich dein Nachdenken und dein Schreiben zu meiner falsch gestellten Frage zwar nicht bzgl. dieser Aufgabe weitergebracht, sondern, und das ist noch viel wichtiger, bzgl. der Materie allgemein.
Derweil
Vlg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Di 06.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
In voriger Antwort wurde ich auf einen Vorzeichenfehler hingewiesen.
Jetzt rechne ich schon sehr lange wie blöd, aber kann das nicht nachvollziehen.
Mein Ergebnis für die Integration war ja ...
[mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{2y-y^{2}} dx}= \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{2y}-\bruch{1}{2(y-2)} dx}=1/2*ln(y)-1/2ln(y-2).
[/mm]
Richtig sei aber [...]ln(2-y).
Das ist auch verständlich, da mit ln(2-y) die Lösung verifziert werden kann inkl. Anfangsbedingung.
Aber ich komme und komme eben nicht darauf! Liegt es an meiner Partialbruchzerlegung zur Integration?
Nochmals vielen Dank
Lg, Kübi
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Hallo Kuebi!
Das Ergebnis der Partialbruchzerlegung muss lauten:
[mm] $\bruch{1}{2y} [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2*(\red{2-y})} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2y} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2*(\red{y-2})}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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