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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
[mm] f'(x)=\bruch{2f(x)}{x} [/mm] |
Ich versuche gerade mir das Lösen durch Separation selbst bei zu bringen (nicht sonderlich erfolgreich)
Für die Oben stehende Aufgabe muss ich f'(x) und f(x) auf die selbe Seite bringen: [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] das sollte soweit eigentlich richtig sein.
jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden Seiten bilden:
rechts ist 2ln(x)...
1. Frage Aber links soll wohl ln(f(x)) sein ich komme da nur auf [mm] \bruch{y^{2}}{2}
[/mm]
(ich rechne jetzt mal mit dem richtigen Ergebnis weiter wüsste aber sehr gerne wie man darauf kommt)
Dann muss ich wohl die additive Konstante k dranhängen:
ln(f(x))=2ln(x)+k
Aber was muss ich jetzt tun?
Das Endergebnis soll so aussehen: [mm] f(x)=c*x^{2}
[/mm]
Ich habe bereits beim Matheboard vor einer Woche fast die selbe Frage nur mit einer anderen Aufgabe gestellt .. Leider hab ich bisher keine Antworten bekommen :(
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
> [mm]f'(x)=\bruch{2f(x)}{x}[/mm]
> Ich versuche gerade mir das Lösen durch Separation selbst
> bei zu bringen (nicht sonderlich erfolgreich)
>
> Für die Oben stehende Aufgabe muss ich f'(x) und f(x) auf
> die selbe Seite bringen: [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
> das sollte soweit eigentlich richtig sein.
Ja
> jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> Seiten bilden:
das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!
Wenn dus mit y schreibst steht da doch
[mm] \integral{1/y dy} [/mm] = [mm] \integral{2/x dx}
[/mm]
wie du da auf [mm] y^2 [/mm] kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie rechts.
andererseit: integrieren = umkehrung von ableiten: (ln(f(x))'= 1/f(x)*f'(x) (Kettenregel) (die Formel solltest du fest im Kopf haben, sie tritt beim Integrieren immer wieder auf.
> rechts ist 2ln(x)...
> 1. Frage Aber links soll wohl ln(f(x)) sein ich komme da
> nur auf [mm]\bruch{y^{2}}{2}[/mm]
>
> (ich rechne jetzt mal mit dem richtigen Ergebnis weiter
> wüsste aber sehr gerne wie man darauf kommt)
> Dann muss ich wohl die additive Konstante k dranhängen:
> ln(f(x))=2ln(x)+k
>
> Aber was muss ich jetzt tun?
jetzt auf beiden Seten e-hoch!
[mm] e^{ln(f(x))} [/mm] = [mm] e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k}
[/mm]
und damit :
f(x) [mm] =x^2*e^k [/mm] und [mm] e^k=c
[/mm]
> Das Endergebnis soll so aussehen: [mm]f(x)=c*x^{2}[/mm]
Wie du siehst ist das auch richtig.
Gruss leduart
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> > jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> > Seiten bilden:
> das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst
> beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!
Ups meint ich ja..
> [mm]\integral{1/y dy}[/mm] = [mm]\integral{2/x dx}[/mm]
> wie du da auf [mm]y^2[/mm]
> kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie
> rechts.
ok weis ich auch nicht wie ich darauf komme..irgendwie hab ich mich bei der Umformung ziemlich dähmlich (mit h ;) ) angestellt
> jetzt auf beiden Seten e-hoch!
> [mm]e^{ln(f(x))}[/mm] = [mm]e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k}[/mm]
> und damit :
> f(x) [mm]=x^2*e^k[/mm] und [mm]e^k=c[/mm]
ist das Standart das ich an diesem Punkt e-Hoch nehmen muss?
Und wie sieht das mit dem [mm] e^{k}=c [/mm] aus? Ist das auch so eine Art Standard? oder muss ich mir das herleiten?
Aber schon einmal vielen danke..Hat mir schon jetzt ein klein wenig weiter geholfen..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > > jetzt muss ich so weit ich weis die Ableitungen von beiden
> > > Seiten bilden:
> > das meinst du hoffentlich nicht! du musst bzw. kannst
> > beide Seiten integrieren! also ne Stammfunktion suchen!
> Ups meint ich ja..
> > [mm]\integral{1/y dy}[/mm] = [mm]\integral{2/x dx}[/mm]
> > wie du da auf
> [mm]y^2[/mm]
> > kommst weiss ich nicht, es ist doch dasselbe Integral wie
> > rechts.
> ok weis ich auch nicht wie ich darauf komme..irgendwie hab
> ich mich bei der Umformung ziemlich dähmlich (mit h ;) )
> angestellt
>
>
> > jetzt auf beiden Seten e-hoch!
> > [mm]e^{ln(f(x))}[/mm] = [mm]e^{2ln(x)+k}=e^{ln(x^2)+k}[/mm]
> > und damit :
> > f(x) [mm]=x^2*e^k[/mm] und [mm]e^k=c[/mm]
> ist das Standart das ich an diesem Punkt e-Hoch nehmen
> muss?
wenn irgendwie ln von y dasteht und du y willst ja! wenn da [mm] y^2 [/mm] stünde musst du die Wurzel ziehen, also einfach so vorgehen, dass du y= dastehen hast.
> Und wie sieht das mit dem [mm]e^{k}=c[/mm] aus? Ist das auch so
> eine Art Standard? oder muss ich mir das herleiten?
Nein, und ja, k ist ne beliebige Konstante, dann ist [mm] e^k [/mm] auch ne Konstante und [mm] k^2 [/mm] wär auch eine usw.
die Konstanten werden durch die Anfangsbedingung erst festgelegt. hier etwa sei y(1)=3 dann folgt c=3 oder [mm] e^k=3 [/mm] also k=ln3.
Gruss leduart
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Wow.. Vielen Dank..
Ich glaube jetzt hab ich das auch vom Prinzip durchblickt..
Gruß MF
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