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| Aufgabe | 1:Bestimme durch Separation die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
a) f(x)=x*f'(x) ; x>0; f(x)>0
b) f(x)=-x*f'(x); x>0; f(x)>0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich denke dass die Rechungen so stimmen sollten..
Wäre ganz nett wenn sich die mal jemand kurz zu Gemüte führen könnte und mir sagen kann ob das so richtig ist.
Danke:
1a) [mm] y=x*\bruch{dy}{dx} \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}
[/mm]
[mm] ln(f(x))=ln(x)+k\Rightarrow \underline{f(x)=x*c}\toc=e^{k}
[/mm]
1b) [mm] y=-x\bruch{dy}{dx}\Rightarrow\integral_{}^{}{\bruch{1}{-x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}
[/mm]
[mm] =-ln(x)+k=ln(y)\Rightarrow\underline{f(x)=-x*c}\to c=e^{k}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mi 16.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1:Bestimme durch Separation die Lösungsmenge der
> Differentialgleichung:
> a) f(x)=x*f'(x) ; x>0; f(x)>0
> b) f(x)=-x*f'(x); x>0; f(x)>0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich denke dass die Rechungen so stimmen sollten..
> Wäre ganz nett wenn sich die mal jemand kurz zu Gemüte
> führen könnte und mir sagen kann ob das so richtig ist.
> Danke:
>
> 1a) [mm]y=x*\bruch{dy}{dx} \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm]
>
> [mm]ln(f(x))=ln(x)+k\Rightarrow \underline{f(x)=x*c}\toc=e^{k}[/mm]
Das letzte = meinst du wohl nicht sondern [mm] c=e^k
[/mm]
>
> 1b)
> [mm]y=-x\bruch{dy}{dx}\Rightarrow\integral_{}^{}{\bruch{1}{-x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm]
>
> [mm]=-ln(x)+k=ln(y)
bis hier richtig!
>\Rightarrow\underline{f(x)=-x*c}\to c=e^{k}[/mm]
hier falsch, denn [mm] e^{-lnx} \ne [/mm] x! [mm] e^{-lnx}=(e^{lnx})^{-1}
[/mm]
da vertut man sich leicht. deshalb direkt [mm] -lnx=ln(x^{-1})oder [/mm] ln(1/x) in anderen Fällen a*lnx direkt durch [mm] lnx^a [/mm] ersetzen
( das [mm] c=e^k [/mm] kannst du weglassen, weil das eh jedem klar ist.)
Gruss leduart
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vielen Dank...
Und ja ich meinte [mm] c=e^{k} [/mm] .. da waren mir ein paar Zeichen abhanden gekommen...
Gruß Matse
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| Aufgabe | Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung:
2a) [mm] f'(x)*(f(x))^{2}=x; x\in\IR; [/mm] f(x)>0
2b) [mm] f'(x)*(f(x))^{4}=sin(x); x\in\IR; [/mm] f(x)>0 |
Sry dass ich mit diesen Aufgaben nerve.. sollen jetzt auch die letzten beiden sein weil ich mir vor allem mit der Konstante C am Ende überhaupt nicht sicher bin..
Ich hab versucht das folgendermaßen zu lösen, kann mir aber nicht vorstellen dass das so richtig ist:
[mm] 2a)\bruch{dy}{dx}*y^{2}=x \Rightarrow\integral_{}^{}{y^{2} dy}=\integral_{}^{}{x dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\bruch{y^{3}}{3}=\bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
[mm] =(f(x))^{3}=1,5x^{2}+k
[/mm]
[mm] \underline{f(x)=\wurzel[3]{1,5x^{2}+c}} \mapsto [/mm] c=k
2b) [mm] \bruch{dy}{dx}*y^{4}=sinx\Rightarrow\integral_{}^{}{y^{4} dy}=\integral_{}^{}{sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{5}*y^{5}=-cos(x)+k
[/mm]
[mm] =\underline{f(x)=\wurzel[5]{\bruch{-cos(x)}{5}+c}} \mapsto c=\bruch{k}{5}
[/mm]
danke.. das sollen jetzt auch die letzten beiden Aufgaben gewesen sein..
Gruß Matse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 17.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matse!
Du hast die beiden Aufgaben fast richtig berechnet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings solltest Du der Form halber bereits hier ...
> [mm]\Rightarrow\bruch{y^{3}}{3}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
... am Ende die Integrationskonstante $+ \ c$ aufschreiben.
Damit gilt dann auch $k \ := \ 3*c$
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{5}*y^{5}=-cos(x)+k[/mm]
>
> [mm]=\underline{f(x)=\wurzel[5]{\bruch{-cos(x)}{5}+c}} \mapsto c=\bruch{k}{5}[/mm]
Und hier gilt selbstverständlich auch $k \ := \ [mm] \bruch{c}{\bruch{1}{5}} [/mm] \ = \ 5*c$
Gruß
Loddar
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Ups... die leidigen Schusselfehler...
So macht das natürlich mehr Sinn.
Noch inmal Danke für die Hilfen
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