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| Aufgabe | | (entspricht der Fragestellung!) |
Guten Morgen allerseits!
Ich beschäftige mich gerade mit ganz unkomplexen Differentialgleichungen. Dabei setze ich mich gerade mit der Raketengleichung [Klassische Mechanik] auseiander.
Die entestehende DGL lautet [ohne äußere Kräfte]:
[mm]m(t)* \bruch{dv(t)}{dt}+v_g* \bruch{dm(t)}{dt}=0[/mm]
Nun habe ich mal gelesen, es seie eine Möglichkeit, mit [mm]dt[/mm] zu multiplizieren; dann bekäme ich doch:
[mm]m(t)*dv(t)+v_g*dm(t)=0[/mm]
An dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter; ich habe mir zwar schon einiges Wissen über Differntial- und auch Integralrechnung (schon recht "ausgibig!") angeeignet, sowie Artikel über Differntialrechnungen gelesen und nachvollzogen aber irgendwie sitzt das noch nicht so richtig !
Ich vermute mal, dass hängt irgendwie mit der Schreibweise zusammen, dass ich nicht weiter komme.
Es wäre wirklich lieb von euch, wenn mir das mal jemand vielleicht sogar ausführlich erklären und erläutern könnt!
Schon mal danke im Vorraus!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo GS
> Ich beschäftige mich gerade mit ganz unkomplexen
> Differentialgleichungen. Dabei setze ich mich gerade mit
> der Raketengleichung [Klassische Mechanik] auseiander.
> Die entestehende DGL lautet [ohne äußere Kräfte]:
>
> [mm]m(t)* \bruch{dv(t)}{dt}+v_g* \bruch{dm(t)}{dt}=0[/mm]
>
> Nun habe ich mal gelesen, es seie eine Möglichkeit, mit [mm]dt[/mm]
> zu multiplizieren; dann bekäme ich doch:
>
> [mm]m(t)*dv(t)+v_g*dm(t)=0[/mm]
so schreiben Physiker schon mal, ist nicht falsch, aber etwas kompliziert zu erklären, weil viele Leute dt, dm usw als "infinitesimale" Dinger auffassen und wie soll man mit sowas rechnen.
hier ist einfacher v hängt von m ab, m hängt von t ab.
deshalb v(t)=v(m(t)) damit und der Kettenregel hast du: [mm] $\bruch{dv(m(t))}{dt}=\bruch{dv}{dm}*\bruch{dm}{dt}$
[/mm]
das in deine Gleichung:
[mm]m(t)*\bruch{dv}{dm}*\bruch{dm}{dt} + v_g* \bruch{dm(t)}{dt}=0[/mm]
und jetzt kannst du für
[mm]\bruch{dm}{dt} \ne 0[/mm] einfach dadurch dividieren.
formal ergibt sich dasselbe, wenn du deine gleichung:
[mm]m(t)*dv(t)+v_g*dm(t)=0[/mm] durch dm teilst, ist aber schwerer (nicht unmöglich) zu begründen.
(ob deine Gl. die richtige Raketengl. ist, hab ich jetzt nicht überprüft)
Gruss leduart
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| Aufgabe | Bezieht auf den Vorausgegangenes.
(Siehe hier!) |
Hallo Leduart!
Erstmal danke für deine Antwort!
Erstmal verfolge ich den von dir gegbenen Ansatz; der erscheint mir im Moment wirklich verständlicher, obgleich ich gerne bald dann gerne auch mal versuchen würde, das zu verstehen!
Zu deiner Antwort aber:
Gehe ich so vor, komme ich trotzdem nicht so recht weiter, möchte mal meinen Ansatz zeigen (das ist eigentlich wirklich Physik):
Zuerst mal ganz kurz die Bezeichnunen:
[mm]v_A[/mm]-Ausströmgeschwindigkeit der Gase (konstant)
[mm]m_0=m(0)[/mm]-Gesamtmasse der kompletten Rakete; zum Zeitpunkt [mm]t_0[/mm]
[mm]m(t)[/mm]-Masse der Rakete zum Zeitpunkt [mm]t[/mm]
Zuerst sei: [mm]p_1(t),p_2(t)[/mm]-Impuls der Rakete und der Gase zum Zeitpunkt [mm]t[/mm]
Nun ist die erste Überlegung, dass ohne äußere Kräfte gelten muss:
[mm]\left \bruch{dp_1(t)}{dt} \right+\left \bruch{dp_2(t)}{dt} \right=0[/mm]
Der erste Teil wird nun der Ausdruck, der den Impuls der Rakete angiebt, denn du mir beschrieben hast:
[mm]\left \bruch{dp_1(t)}{dt} \right=m(t)*\left \bruch{dv(m(t))}{dt} \right=m(t)*\left \bruch{dv}{dm} \right*\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm]
Für den zweiten Teil, der den Impulse der ausgestossenen Gase angiebt, gilt dann:
[mm]dp_2=v_A*dm[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm]\left \bruch{dp_2}{dt} \right=v_A*\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm]
Dies ist so, da die augestossende Gasmenge ja als konstant vorrausgeset ist!
Das ergibt sich:
[mm]m(t)*\left \bruch{dv}{dm} \right*\left \bruch{dm}{dt} \right+v_A*\left \bruch{dm}{dt} \right=0[/mm]
Nun dividiere ich [mm]\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm] raus, es bleibt dann:
[mm]m(t)*\left \bruch{dv}{dm} \right+v_A=0[/mm]
Dann ensteht die Differntialgleichung:
[mm]\left \bruch{dv}{dm} \right=\left\bruch{v_A}{m(t)}\right[/mm]
Und somit:
[mm]v=v_A*\integral_{0}^{m(t)}\left\bruch{1}{m(t)}\right dm[/mm]
Durch lösen des Integrals und einsetzen der Grenzen erhalte ich die Lösung der DGl:
[mm]v=v_A*\left[ln(m(t))-ln(m(0))\right]=v_A*ln\left(\left \bruch{m(t)}{m(0)}\right\right)[/mm]
...oder wie ich es bei Wikipedia fand:
[mm]v=-v_A*ln\left(\left \bruch{m(0)}{m(t)}\right\right)[/mm]
Also für "relativ" erdnahe Racken gilt somit infolge des Gravitationsfeldes:
[mm]v=g*t-v_A*ln\left(\left \bruch{m(0)}{m(t)}\right\right)[/mm]
Damit ist mein Versuch fertig, diese DGl zu lösen; was mich irretiert: Am Ende steht [mm]v[/mm] auf der einen Seite, nicht [mm]v(t)[/mm]. Warum ist das so? Entschuldigt, wenn die Frage leicht sinnlos ist, aber ich verstehe es gerade nicht !
Ist das überhaupt korrekt, wo sind Fehler? Was habe ich falsche gemacht? Wäre echt nett, von euch, wenn ihr das noch mal kontrollieren könntet!
Schon mal danke an Leduart und alle anderen anderen!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist alles richtig!
und dass du nur v statt v(t) oder v(m(t)) hinschreibst ist deine Sache. Mathematiker und Physiker schreiben die Funktionen oft ohne die Variablen, wenn eh klar ist, von was sie Abhängen. also etwa [mm] s=a/2t^2 [/mm] statt [mm] s(t)=a/2t^2 [/mm] usw.
da v entsteht, indem du bis m integrierst sollte man an der Stelle eigentlich das schon hinschreiben! ein Integral ist immer eine fkt der Grenzen!
also [mm] F=\integral_{a}^{b(t)}{f(x) dx} [/mm] heisst eigentlich F(b(t)) kurz F(t)
war das die Frage?
besser wäre noch, wenn du m(t)=r*t einsetzen würdest! mit t< [mm] (M_{ende}-m_0)/r
[/mm]
Gruss leduart
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| Aufgabe | Bezieht auf den Vorausgegangenes.
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Halllo Leduart!
...und noch einmal danke für deine weitere Mühe, meine Fragen zu beantworten!
Das mit der Schreibweise war mir wohl bewusst, dass es nicht zwingend erforderlich ist, "Formeln" als Funktionen von Funktionsvariablen anzugeben.
Erstmal habe ich jedoch eine andere Frage:
Ich schrieb...
> Der zweite Teil, der den Impulse der ausgestossenen Gase
> angiebt, berechnet sich dann so:
> [mm]\left \bruch{dp_2}{dt} \right=v_A*\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm]
....und das ist mir nun suspekt geworden!
Diese beudet ja, dass gilt:
[mm]dp_2=v_A*m(t)[/mm]
...und das ist doch sicher falsch, oder?
[mm]m(t)[/mm] ist doch die Masse der Rakete zum Zeitpunkt [mm]t[/mm], oder?
Könntest du mir hier noch einmal erklären, wo gerade meine Denkfehler ist? Das wäre sehr nett
Schon mal DANKE!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Erstmal habe ich jedoch eine andere Frage:
> Ich schrieb...
>
> > Der zweite Teil, der den Impulse der ausgestossenen Gase
> > angiebt, berechnet sich dann so:
> > [mm]\left \bruch{dp_2}{dt} \right=v_A*\left \bruch{dm}{dt} \right[/mm]
>
> ....und das ist mir nun suspekt geworden!
> Diese beudet ja, dass gilt:
> [mm]dp_2=v_A*m(t)[/mm]
Nein, wenn du das unbedingt mit den dp und dm schreiben willst dann : [mm] dp2=v_A*dm
[/mm]
und wenn du statt d [mm] \Delta [/mm] schreibst ist das doch auch klar?
Gruss leduart
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| Aufgabe | | (Bezieht sich auf Fragestellung!) |
Hallo Loddar leduart!
Was du mir geschrieben hast, kann ich nachvollziehen, es klapt auch mit [mm]dt[/mm].
So, jetzt gibt es aber schon wieder ein Problem:
[mm]\left \bruch{dp_1(t)}{dt} \right+\left \bruch{dp_2(t)}{dt} \right=0[/mm]
Muss dann nicht gelten:
[mm]\left \bruch{dp_2}{dt} \right=\left \bruch{d \ m(t)*v(m(t))}{dt} \right[/mm]
...was man dann mit Ketten- und Produktregel differnzieren müsste?
Irgendwie wird das immer merkwürdiger, je länger ich darüber noch nachdenke!
Könntest du noch mal kurz erklären, wo mein Fehler liegt?
Schon mal wieder ein großes DANKE!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 08.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo GS
Der Impulssatz sagt: ohne äußere Kräfte bleibt der Gesamtimpuls konstant, d.h. die zeitliche Änderung ist 0.
Du hast das ursprünglich in 2 Teile geteilt und die p1 und p2 genannt. dann gilt p1+p2=0
und daraus deine Gleichung.dp1/dt+dp2/dt=0
ODER du betrachtest den Gesamtimpuls m*v und hast dann d(m*v)/dt=0 darausProduktregel v*dm/dt+m*dv/dt=0 und du kannst dir überlegen, das eine dp1/dt und das andere dp2/dt zu nennen.
Ich hoff, das klärt das problem
Gruss leduart
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Hallo leduart!
...entschuldige, dass ich die Loddar gennant hab!
Ich wollte mich nur noch einmal für die Antwort bedankenm, versuchte sie nachzuvollziehen!
Jedoch komme ich damit weiter, sie in den Gesamtzusammenhang einzubetten; nebenbei wird das auch noch zu physikalisch für das Mathe-Forum.
Somit habe ich mich entschloßen, die Problematik in unserem Physik-Forum blad noch einmal ganz ausführlich aufzurollen!
Trotzdem noch einmal DANKE!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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