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| Aufgabe | Das Anfangswertproblem [mm] y'+y=4*x*e^{-x} [/mm] , y( 0 ) = 8 sei gegeben.
Bestimmen Sie die ganzen Zahlen a und b , so daß y = y( x ) = [mm] (a*x^{2}+b)*e^{-x} [/mm] die spezielle Lösung des Anfangswertproblems darstellt. |
Ich habe nun wie folgt gerechnet:
[mm] y(x)=K(x)*e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}
[/mm]
[mm] K'(x)=4x*e^{-x}*e^{\integral_{}^{}{1 dx}}
[/mm]
[mm] =4*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] K(x)=4*\integral_{}^{}{x*e^{-x} dx}
[/mm]
[mm] =4*(-x-1)*e^{-x}+C
[/mm]
eingesetzt:
[mm] y(x)=[4*(-x-1)*e^{-x}+C]*e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}
[/mm]
[mm] =[4*(-x-1)*e^{-x}+C]*e^{\integral_{}^{}{1 dx}}
[/mm]
[mm] =[4*(-x-1)*e^{-x}+C]*1
[/mm]
[mm] =4*(-x-1)*e^{-x}+C
[/mm]
Wenn ich jetzt den Anfangswert einsetze komme ich auf:
8=-4+C => C=12
Dadurch ist aber nicht die Form
y( x ) = [mm] (a*x^{2}+b)*e^{-x} [/mm] erreicht.
Was ist da falsch gelaufen?
Vielen Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 08.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Ich weiß nicht ganz was du da vorhast. Das sieht mir irgendwie nach "Variation der Konstanten" aus; das macht hier aber keinen Sinn wenn du nicht vorher die Lösung der homogenen Gleichung bestimmst.
Außerdem ist auch was anderes gefordert. Du hast schon die Form der Partikulärlösung gegeben. Um die Konstanten a,b zu bestimmen setzt du die Lösung in die DGL ein, und hast dann zusammen mit der Anfangsbedingung zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.
Gruß,
Doing
Edit: Es ist nach dem Einsetzen zunächst noch ein Koeffizientenvergleich durchzuführen.
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