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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 26.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Hallo,
Ich soll mehrere DGL'n nach verschiedenen Kriterien bestimmen.
Nun ich weiß was konstante Koeffizienten sind, wann eine DGL homogen oder inhomogen ist.
Nur weiß ich nicht wie ich das auf die Praxis anwende.
Ich kenne auch die allgemeine Form (ich hab sie hier nicht reingeschrieben, weil ich nicht wusste wie ich etwas tief stelle).
Aber ich weiß nicht wie es an einem Beispiel aussieht.
Beispiel 1:
[mm] y'=e^{x+y}
[/mm]
Ist diese DGL nun homogen oder inhomogen? s(x)=0 (homogen) [mm] s(x)\not=0 [/mm] (inhomogen)
Aber was ist hier bitte s(x)?
Hier ist mein Koeffizient wohl e. Und das ist von x abhängig. Also habe ich hier eine DGL ohne konstante Koeffizienten?
Beispiel 2:
(1+x²)y'+2xy=cosx
Hier das gleiche mit homogen und inhomogen. Wenn ich cosx rüberbringe ist die DGL = 0 also heißt dass dann auch dass sie homogen ist?
Und ist mein Koeffizient hier abhängig von x oder nicht? Ich betrachte mal 2xy: 2x ist mein Koeffizient? Also ist mein Koeffizient von x abhängig?
Wäre super nett von euch wenn ihr mir entweder bei meinen Beispielen helft oder bessere Beispiele habt bei denen man das besser erklären kann.
Danke für Eure Hilfe
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 So 26.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Homogenität (EDIT: Begriff wird nur bei Linearen DGL verwendet):
Homogen: f(y,y',y'',...) = 0
Inhomogen: g(y,y',y'',...) = s(x)
Linearität/Konstante Koeffizienten:
y*a + y'''*b = 0 dies ist eine Lineare DGL wenn a, b = const.
y*x + y''' = 0 dies ist eine nicht-Lineare DGL.
(Bei deinen Fällen ist es noch klar mit unterteilen. Ich kann dir aber sagen bei komplizierteren hab ich die Erfahrung gemacht: es macht sich jeder selbst seine Definitionen - "quasilinear" und so zeugs. Die einen unterteilen sie dann danach ob die Höchste(!) Ableitung linear vorkommt oder nicht die anderen klassifizieren wieder nach anderen Kriterien. )
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:34 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Kannst Du mir sagen für was das s(x) steht? Das ist mir nämlich nicht klar. Vielleicht an einem Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mo 27.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und sind die Funktionen s, [mm] a_i:I \to \IR [/mm] stetig, so heißt die DGL
[mm] $\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)}(x) [/mm] = s(x) $
linear. Ist s [mm] \equiv [/mm] 0, so heißt sie homogen, anderenfalls inhomogen.
Beispiele:
1. Die DGL
$ [mm] y'=e^{x+y} [/mm] $
ist nicht linear
2. Die DGL
(1+x²)y'+2xy=cosx
ist linear und inhomogen.
2. Die DGL
(1+x²)y'+2xy=0
ist linear und homogen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> Beispiele:
> 1. Die DGL
>
>
> [mm]y'=e^{x+y}[/mm]
>
> ist nicht linear
Laut unserem Professor sollte sie linear sein. Aber mir leuchtet ein dass sie nicht linear ist, da (x+y) auch größer 1 werden kann.
Diese Funktion hat dann auch keine konstanten Koeffizienten. Richtig?
> 2. Die DGL
>
> (1+x²)y'+2xy=cosx
>
> ist linear und inhomogen.
Das bedeutet ich muss einfach darauf achten wie sie mir gegeben ist. In diesem Fall inhomogen. Wenn ich jetzt cosx nach links bringen würde wäre sie dann homogen?
Konstante Koeffizienten hat auch diese DGL nicht. Richtig?
> 2. Die DGL
>
> (1+x²)y'+2xy=0
>
> ist linear und homogen.
Koeffizienten nicht konstant. Richtig? :)
Danke euch schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> > Beispiele:
> > 1. Die DGL
> >
> >
> > [mm]y'=e^{x+y}[/mm]
> >
> > ist nicht linear
>
> Laut unserem Professor sollte sie linear sein. Aber mir
> leuchtet ein dass sie nicht linear ist, da (x+y) auch
> größer 1 werden kann.
???
> Diese Funktion hat dann auch keine konstanten
> Koeffizienten. Richtig?
Ja.
Eine Lineare Differentialgleichung (1. Ordnung) hat die Form y'(x) = A(x)*y(x) + b(x)
> > 2. Die DGL
> >
> > (1+x²)y'+2xy=cosx
> >
> > ist linear und inhomogen.
>
> Das bedeutet ich muss einfach darauf achten wie sie mir
> gegeben ist. In diesem Fall inhomogen. Wenn ich jetzt cosx
> nach links bringen würde wäre sie dann homogen?
Völlig falsch. Nein du musst nicht drauf achten wie sie gegeben ist!
Die Inhomogenität ist eine Funktion nur von x.
Wie der FRED schon gesagt hat (was ich noch nicht wusste) man unterscheidet homogen und inhomgen nur bei linearen DGLen.
Beispiel:
5*y' + y + y'' = 0 Diese DGL ist homogen.
4*y' + y + y'' - cos(x) = 0 Diese DGL ist inhomogen.
> Konstante Koeffizienten hat auch diese DGL nicht.
> Richtig?
>
>
> > 2. Die DGL
> >
> > (1+x²)y'+2xy=0
> >
> > ist linear und homogen.
>
> Koeffizienten nicht konstant. Richtig? :)
Ja.
Sie ist linear, weil du sie in der Form y' = [mm] \bruch{-2xy}{1 + x^{2}} [/mm] = A(x)*y schreiben kannst.
>
> Danke euch schonmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
> > > [mm]y'=e^{x+y}[/mm]
> > >
> > > ist nicht linear
> >
> > Laut unserem Professor sollte sie linear sein. Aber mir
> > leuchtet ein dass sie nicht linear ist, da (x+y) auch
> > größer 1 werden kann.
>
> ???
Ist meine Aussage falsch?
Ich probier es nocheinmal:
[mm]y'=e^{x+y}[/mm]
Diese DGL ist inhomogen, hat konstante Koeffizienten und ist nicht linear.
inhomogen weil e von x abhängig ist.
konstante Koeffizienten weil vor dem e kein x steht.
und nicht linear weil x+y auch größer 1 werden kann.
Wahrscheinlich stimmt die hälfte nicht.
Ich muss sagen bei dieser DGL bin ich auch ziemlich verwirrt.
Danke
PS: Wenn man Linearität nur bei DGL'n 1. Ordnung unterscheiden kann dann sind DGL'n höherer Ordnung immer nichtlinear?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja die Hälfte oder mehr stimmt nicht.
y' = [mm] e^{x+y} [/mm] = [mm] e^{x}*e^{y} [/mm]
Schaune wir die Lineare Form an: y' = A(x)*y(x) + b(x)
Wir stelle fest, dass y(x) mit einer Funktion A(x) multipliziert wird. Das wäre bei deiner Gleichung das [mm] e^{x}. [/mm] Nun steht aber nicht y(x) sondern [mm] e^{y}. [/mm] Demfall Nicht-Linear.
Da die Homogenität nur bei Linearen DGL untersucht wird, müssen wir gar nicht daraug eingehen.
Der Koeffizient [mm] e^{x} [/mm] ist nicht konstant.
Und das x+y grösser 1 werden kann hat NULL mit Linearität zu tun.
Gruss
Doch diese Definition von Linearität kann man weiterführen:
y'' = [mm] A_{1}(x)*y' [/mm] + [mm] A_{2}(x)*y [/mm] + b(x)
Die Frage bei der nichtlinearität ist immer wie das y,y',y'',... vorkommt. Steht z.B. y''^{2} = 0 ist sie nicht linear. Steht aber [mm] y'*x^{2} [/mm] = 5 ist sie linear obwohl das [mm] x^{2} [/mm] eine nicht lineare Funktion ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Danke schonmal:
Ich werde Dir noch 4 Aufgaben "vorrechnen" und würde dich bitten sie mit einer kurzen Erklärung zu berichtigen.
Aufgabe 57 (in Klammern meine Erklärung)
y'+x²y=x²
DGL linear (y'), inhomogen (x²), keine konstanten Koeff. (x²y)
Aufgabe 58:
[mm] y'=e^{\bruch{y}{x}}+\bruch{y}{x}
[/mm]
DGL linear (y'), inhomogen [mm] (\bruch{y}{x}), [/mm] keine konst. Koeff. [mm] (e^{\bruch{y}{x}})
[/mm]
Aufgabe 59:
[mm] y'=2\wurzel{y}
[/mm]
DGL linear (y'), homogen (keine x Fkt.), konst. Koeff. (2)
Aufgabe 60:
xy(1+x²)y'=y²+1
DGL linear (y'), homogen (keine x Fkt.), keine konst Koeff. (xy(1+x²))
Danke für Deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Linear meint hier nicht nur dass y'(x) oder y''(x) (oder so...) sondern meint auch dass y(x) linear vorkommt.
Deshalb nochmal weil ja dan die Homogenität allenfalls gar nicht untersucht wird..............^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Spirik |
Aufgabe 57:
y'+x²y=x²
DGL linear (y'), inhomogen (x²), keine konstanten Koeff. (x²y)
Aufgabe 58:
[mm]y'=e^{\bruch{y}{x}}+\bruch{y}{x}[/mm]
DGL linear (y'), inhomogen [mm](\bruch{y}{x}),[/mm] keine konst.
Koeff. [mm](e^{\bruch{y}{x}})[/mm]
Aufgabe 59:
[mm]y'=2\wurzel{y}[/mm]
[mm] y'=2y^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
DGL nicht linear (y'), Homogenität wird nicht betrachtet [mm] (2y^{\bruch{1}{2}}), [/mm] konst. Koeff.
Aufgabe 60:
xy(1+x²)y'=y²+1
DGL nicht linear (y²), Homogenität wird nicht betrachtet, keine konst Koeff. (xy(1+x²))
Ich hoffe jetzt stimmt es! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 27.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
> Aufgabe 57:
>
> y'+x²y=x²
> DGL linear (y'), inhomogen (x²), keine konstanten Koeff.
> (x²y)
Richtig.
>
> Aufgabe 58:
> [mm]y'=e^{\bruch{y}{x}}+\bruch{y}{x}[/mm]
> DGL linear (y'), inhomogen [mm](\bruch{y}{x}),[/mm] keine konst.
> Koeff. [mm](e^{\bruch{y}{x}})[/mm]
Sie ist nicht linear!!! [mm] e^{y} [/mm] ...alles andere als Linear.
>
> Aufgabe 59:
> [mm]y'=2\wurzel{y}[/mm]
> [mm]y'=2y^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> DGL nicht linear (y'), Homogenität wird nicht betrachtet
> [mm](2y^{\bruch{1}{2}}),[/mm] konst. Koeff.
Richtig.
>
> Aufgabe 60:
> xy(1+x²)y'=y²+1
> DGL nicht linear (y²), Homogenität wird nicht
> betrachtet, keine konst Koeff. (xy(1+x²))
Richtig.
Also wenn der FRED noch einen Fehler an meiner Sicht sehen wird, dann wird er sich melden. Weil ich hab selbst wie gesagt ein kleines Durcheinander mit den bestimmungen weil je komplizierter die werden desto unklarer sind die spezifikationen.
Am besten übst du mal langsam solche zu lösen, dann merkst du wieso man die in diese Klassen unterscheidet. Man macht diese Unterscheidungen um darauf spezifische Ansätze und Lösungsmethoden anzuwenden, je nach Art der DGL.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Mo 27.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Homogenität:
> Homogen: f(y,y',y'',...) = 0
> Inhomogen: g(y,y',y'',...) = s(x)
Das ist doch Quatsch ! Von "homogen" bzw. "inhomogen " spricht man nur, wenn es sich um lineare DGLen handelt !
>
> Linearität/Konstante Koeffizienten:
> y*a + y'''*b = 0 dies ist eine Lineare DGL wenn a, b =
> const.
Im anderen Fall aber auch !!!!
> y*x + y''' = 0 dies ist eine nicht-Lineare DGL.
Blödsinn. Diese DGL ist linear !!!!
FRED
>
> (Bei deinen Fällen ist es noch klar mit unterteilen. Ich
> kann dir aber sagen bei komplizierteren hab ich die
> Erfahrung gemacht: es macht sich jeder selbst seine
> Definitionen - "quasilinear" und so zeugs. Die einen
> unterteilen sie dann danach ob die Höchste(!) Ableitung
> linear vorkommt oder nicht die anderen klassifizieren
> wieder nach anderen Kriterien. )
>
> Gruss
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