Differentialgleichungen lösen < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
Möchte hier mal fragen, ob mir jemand mal ausführlich erklären kann, wie man eine Differentialgleichungen löst. Da wird es ja sicherlich bestimmte Verfahren geben.
Nehmen wir an, man hätte folgende Differentialgleichung zu lösen. Wie kann man da vorgehen?
xy'(x) - y(x) +1 = [mm] x^{2}
[/mm]
Ich glaube, dass die Inhomogenitäten hier 1 und [mm] x^{2} [/mm] sind oder irre ich mich da? Wie könnte man sowas nun lösen? Danke sehr dafür.
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Hallo SolRakt,
> Hallo,
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> Möchte hier mal fragen, ob mir jemand mal ausführlich
> erklären kann, wie man eine Differentialgleichungen löst.
> Da wird es ja sicherlich bestimmte Verfahren geben.
>
> Nehmen wir an, man hätte folgende Differentialgleichung zu
> lösen. Wie kann man da vorgehen?
>
> xy'(x) - y(x) +1 = [mm]x^{2}[/mm]
>
> Ich glaube, dass die Inhomogenitäten hier 1 und [mm]x^{2}[/mm] sind
> oder irre ich mich da? Wie könnte man sowas nun lösen?
> Danke sehr dafür.
Stelle erstmal nach [mm]y'[/mm] um:
[mm]y'(x)=\frac{y(x)}{x}+x-\frac{1}{x}[/mm] für [mm]x\neq 0[/mm]
Dann ist die zugeh. homogene Dgl: [mm]y_h'(x)=\frac{y_h(x)}{x}[/mm] und die Inhomogenität der Rest dahinter 
Löse zunächst die homogene Dgl mit Trennung der Variablen und bestimme dann mit Variation der Konstanten eine partikuläre (spezielle) Lösung [mm]y_p[/mm] der inhom Dgl.
Dann ist die "Gesamt"lösung: [mm]y=y_h+y_p[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry, bin in dem Gebiet nicht besonders gut bzw. das ist alles komplett neu für mich. Was meinst du mit Trennung der Variablen? Kannst du das für mich mal kurz erklären? ;)
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Hallo SolRakt,
> Sry, bin in dem Gebiet nicht besonders gut bzw. das ist
> alles komplett neu für mich. Was meinst du mit Trennung
> der Variablen? Kannst du das für mich mal kurz erklären?
> ;)
Bringe alles was mit y zu tun hat auf eine Seite,
und den Rest auf die andere Seite.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 19.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
So?
y'(x) - [mm] \bruch{y(x)}{x} [/mm] = x - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt das? Das wäre also diese Trennung?
Und wie kann man jetzt weiter machen? Ich möchte mir die Lösung mal Schritt für Schritt erarbeiten. Ist dieses Verfahren, was man da macht, denn auch allgemeingültig also immer einsetzbar?
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Hallo SolRakt,
> So?
>
> y'(x) - [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm] = x - [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Stimmt das? Das wäre also diese Trennung?
Wir reden doch hier von der homogenen DGL
[mm]y'(x) - \bruch{y(x)}{x}=0[/mm]
Trennung der Variablen führt zunächst auf [mm]\bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x}[/mm]
Ersetze jetzt [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
Dann steht wiederum da: [mm]\bruch{dy\dx}{y}=\bruch{1}{x}[/mm]
dx auf die andere Seite gebracht:
[mm]\bruch{dy}{y}=\bruch{1}{x} \ dx[/mm]
Und jetzt kannst Du auf beiden Seiten integrieren.
>
> Und wie kann man jetzt weiter machen? Ich möchte mir die
> Lösung mal Schritt für Schritt erarbeiten. Ist dieses
> Verfahren, was man da macht, denn auch allgemeingültig
> also immer einsetzbar?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..verstehe. Aber irgendwie kriege ich grad das mit dem Integrieren nicht so hin :( Auf der rechten Seite steht der Logarithmus, ist ja klar, aber wie integrier ich [mm] \bruch{dy}{y} [/mm] Sehs grad nicht bzw. komm nicht drauf.
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Hallo nochmal,
> Hmm..verstehe. Aber irgendwie kriege ich grad das mit dem
> Integrieren nicht so hin :( Auf der rechten Seite steht der
> Logarithmus, ist ja klar, aber wie integrier ich
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sehs grad nicht bzw. komm nicht drauf.
Na, es ist doch $\frac{dy}{y}=\frac{1}{y} \ dy}$
Die zu bestimmende Gleichung lautet also
$\int{\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{\frac{1}{x} \ dx}$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Dann wär ja ln(y) = ln(x)
Aber dann ist das Ganze doch noch nicht gelöst?
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Hallo nochmal,
> Dann wär ja ln(y) = ln(x) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bei unbestimmter Integration tritt doch eine Integrationskonstante auf, zudem fehlen die Betragstriche, also
[mm]\ln(|y|) \ = \ \ln(|x|)+C[/mm] mit [mm]C\in\IR[/mm]
>
> Aber dann ist das Ganze doch noch nicht gelöst?
Du musst nach [mm]y=y(x)[/mm] auflösen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also muss der Logarithmus vor y weg. Mit der Exponentialfunktion?
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Hallo nochmal,
> Also muss der Logarithmus vor y weg. Mit der
> Exponentialfunktion?
Na klar!
Also ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Irgendwie sieht das dann merkwürdig aus:
y (x) = x + exp(C)
Weiß jetzt erstens nicht, ob das stimmt und wenn ja, ob die Betragsstriche noch dahingehören xD
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Hallo nochmal,
> Irgendwie sieht das dann merkwürdig aus:
>
> y (x) = x + exp(C)
>
> Weiß jetzt erstens nicht, ob das stimmt und wenn ja, ob
> die Betragsstriche noch dahingehören xD
Ok, machen wir es step-by-step:
[mm] $\ln(|y|)=\ln(|x|)+C$ [/mm] mit [mm] $C\in\IR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |y|=e^{\ln(|x|)+C}=e^{\ln(|x|)}\cdot{}e^C=e^C\cdot{}x$
[/mm]
Nun ist [mm] $e^C$ [/mm] auch eine Konstante, also taufen wir um:
[mm] $y=C_0\cdot{}x$ [/mm] mit [mm] $C_0\in\IR$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ist man jetzt fertig?
Hab auch was übersehn. In der Aufgabe steht noch y(1) = 0 Ist das wichtig? Ich hoffe nicht :(
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Hallo SolRakt,
> Ist man jetzt fertig?
Nein, jetzt muss noch die partikuläre Lösung der DGL bestimmt werden.
Dies machst Du mit der Variation der Konstanten,
machst also das C zusätzlich von x abhängig.
Daher Ansatz: [mm]y_{p}\left(x\right)=C\left(x\right)*x[/mm]
Diesen Ansatz setzt Du in die DGL ein und ermittelst so [mm]C\left(x\right)[/mm]
>
> Hab auch was übersehn. In der Aufgabe steht noch y(1) = 0
> Ist das wichtig? Ich hoffe nicht :(
Für die allgemeine Lösung der DGL ist das nicht wichtig.
Für die spezielle Lösung der DGL ist das schon wichtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Was meinst du mit spezieller Lösung? Wann kan ich das denn machen? Ich versuch jetzt mal das mit der partikulären Lösung.
Dann steht da:
x [mm] \* [/mm] (C(x) [mm] \* [/mm] x)' - C(x) [mm] \* [/mm] x +1 = [mm] x^{2} [/mm] Aber wie kriege ich da anders zusammengefasst?
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Hallo SolRakt,
> Was meinst du mit spezieller Lösung? Wann kan ich das denn
> machen? Ich versuch jetzt mal das mit der partikulären
Eine spezielle Lösung wird durch die Anfangsbedinung (hier y(1)=0) vorgegeben.
> Lösung.
>
> Dann steht da:
>
> x [mm]\*[/mm] (C(x) [mm]\*[/mm] x)' - C(x) [mm]\*[/mm] x +1 = [mm]x^{2}[/mm] Aber wie kriege
> ich da anders zusammengefasst?
Hier musst Du noch [mm] (C(x) \* x)'[/mm] berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..Da bin ich überfragt. Um diese Ableitung zu berechnen, müsste ich doch Produktregel anwenden, aber wie soll ich das machen?
Oder kann ich einfach sagen:
C(x)' * x + C(x)
Wie gings dann weiter?
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Hallo SolRakt,
> Hmm..Da bin ich überfragt. Um diese Ableitung zu
> berechnen, müsste ich doch Produktregel anwenden, aber wie
> soll ich das machen?
>
> Oder kann ich einfach sagen:
>
> C(x)' * x + C(x)
Genau so geht die Produktregel.
Setzte das jetzt statt [mm]\left( \ C\left(x\right)*x \ \right)'[/mm] in die DGL ein.
>
> Wie gings dann weiter?
Gruss
MathePower
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