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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 01.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung des Differentialgleichungssystem
y`(t) = = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsansatz:
Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
[mm] det(A-\lambda E_{2})=\vmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Hier kam dann [mm] \lambda_{1} [/mm] = 5 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 raus
Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils die o.g. Werte für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 5 [mm] (A-\lambda_{1} E_{2}): \pmat{ -3 & 1 \\ 3 & -1}
[/mm]
[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 [mm] (A-\lambda_{2} E_{2}): \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3}
[/mm]
[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Somit lautet die Lösung dann:
y(t) = [mm] c_{1}e^{5t}\vektor{3 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{t}\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
Nun ist mir aber leider nicht klar, wie und an welcher Stelle der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 7} [/mm] (siehe Aufgabenstellung) mit in die Rechnung einfließen muss!?
Könnt ihr das einmal Erläutern?
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 01.02.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Lösung des Differentialgleichungssystem
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> y'(t) = = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7}[/mm]
>
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsansatz:
>
> Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
>
> [mm]det(A-\lambda E_{2})=\vmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> Hier kam dann [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5 und [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 raus
>
> Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils
> die o.g. Werte für [mm]\lambda[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 5 [mm](A-\lambda_{1} E_{2}): \pmat{ -3 & 1 \\ 3 & -1}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 [mm](A-\lambda_{2} E_{2}): \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> Somit lautet die Lösung dann:
>
> y(t) = [mm]c_{1}e^{5t}\vektor{3 \\ 1}[/mm] + [mm]c_{2}e^{t}\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> Nun ist mir aber leider nicht klar, wie und an welcher
> Stelle der Vektor [mm]\vektor{3 \\ 7}[/mm] (siehe Aufgabenstellung)
> mit in die Rechnung einfließen muss!?
>
> Könnt ihr das einmal Erläutern?
Bislang hast du nur die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung bestimmt.
Was Du noch benötigst ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
Tipp: die inhomogene Gleichung hat eine konstante Lösung
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lautet dann
allgemeine Lösungen der homogenen Gleichung +spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
>
> Vielen Dank für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Fr 02.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Ist nachfolgender Weg dann der Richtige:
y'(t) = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 3 & 4 }y(t)-\vektor{3 \\ 7}
[/mm]
y'_{s}(t) = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] = [mm] Ay_{s}(t) [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 7}
[/mm]
y'_{s}(t) = [mm] \pmat{ 2a & +b & |3 \\ 3a & +4b & |7 }
[/mm]
Auflösen nach a und b?
Besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 02.02.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, genau so.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 03.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Ich habe nach Lösen der Gleichungen
a = 1 und b = 1
raus.
Ist das so in Ordnung?
Besten Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 03.02.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort!
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> Ich habe nach Lösen der Gleichungen
>
> a = 1 und b = 1
>
> raus.
>
> Ist das so in Ordnung?
Ja. Mit einer einfachen Probe kannst du das selbst überprüfen
>
> Besten Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Mo 05.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank!
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