Differentialquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Matts |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
[mm] $f(x)=\begin{cases} x*\cos(1/x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
stetig, jedoch im Punkt [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar ist. |
nun habe ich folgende Frage.
Bei der Stetigkeit muss ich ja folgenden Limes zeigen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\zero} x*cos(1/x)=0 [/mm]
(xsollte gegen Null streben, zeigt es nicht an..)
reicht es da wenn ich sage, dass es Null ist da x gegen Null strebt und so cos(1/x) auch "Null" wird? beim Differentialquotient stosse ich auf das selbe Problem mit dem cos(1/x).
Ich wäre dankbar für Antworten.
Lg Matts
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.de/
ist schon eine Weile her, doch ich habe mich gerade wider an das Problem gesetzt und komme immer noch nicht nach.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matts!
Forme um wie folgt:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}x*\cos\left(\bruch{1}{x}\right) \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
Ersetze nun [mm]z \ := \ \bruch{1}{x}[/mm] und lasse [mm]z_[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 So 12.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur Stetigkeit: es ist
$|f(x)|= |x*cos(1/x)| [mm] \le [/mm] |x|$
Jetzt x [mm] \to [/mm] 0.
Zur Differenzierbarkeit: sei [mm] $x_n:= \bruch{1}{n\pi}$. [/mm] Hat der Quotient
[mm] \bruch{f(x_n)-f(0)}{x_n-0}
[/mm]
einen Grenzwert für [mm] n\to \infty [/mm] ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 12.09.2010 | | Autor: | Matts |
mit dieser Nullfolge konvergiert der Term für $ [mm] n\to \infty [/mm] $ gegen minus 1
ich kann ja noch eine Folge bilden mit: [mm] y_n:= \bruch{1}{2n\pi} [/mm]
diese Folge konvergiert gegen 1 für $ [mm] n\to \infty [/mm] $
somit ex. der LImes nicht oder ? (Folgenkriterium)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 12.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> mit dieser Nullfolge konvergiert der Term für [mm]n\to \infty[/mm]
> gegen minus 1
Nein. Es ist cos(n [mm] \pi)= (-1)^{n}
[/mm]
>
> ich kann ja noch eine Folge bilden mit: [mm]y_n:= \bruch{1}{2n\pi}[/mm]
>
> diese Folge konvergiert gegen 1 für [mm]n\to \infty[/mm]
>
> somit ex. der LImes nicht oder ? (Folgenkriterium)
Ja
FRED
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