Differentialquotient sin(x) < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Benbw |
| Aufgabe | y=f(x)=sin(x)
[mm] \bruch{\Delta y} {\Delta x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=\bruch{sinx-sina}{x-a} [/mm] |
Hallo,
bei der oben genannten Aufgabe stoße ich auch ein Problem. Der Vollständigkeit halber schreibe ich die komplette Aufgabe mitsamt dem bisherigen Rechenweg dazu.
Die Aufgabe lautet wie oben beschrieben durch den Differentialquotienten die Ableitung zu ermitteln.
Nach den oben genannten Schritten folgte eine Zwischenrechnung mit den Additionstheoremen.
[mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alpha*cos\beta+sin\beta*sin\alpha [/mm] - [mm] sin(\alpha-\beta)=sin\alpha*cos\beta*sin\beta*cos\alpha =2sin\beta*cos\alpha
[/mm]
[mm] (\alpha+\beta)=x [/mm] ; [mm] (\alpha-\beta)=a [/mm] => [mm] \alpha=\bruch{x+2a}{2}; \beta=\bruch{x-a}{2}
[/mm]
Daraus folgt eingesetzt:
[mm] \bruch{\Delta y} {\Delta x}=\bruch{2sin[\bruch{x-a}{2}]*cos\bruch{x+a}{2}}{\Delta x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\Delta y} {\Delta x}=\bruch{sin[\bruch{x-a}{2}]}{(\bruch{x-a}{2})}*cos\bruch{x+a}{2}
[/mm]
die Grenzwertbetrachtung:
[mm] x\rightarrow [/mm] a
---------------->
[mm] (\Delta x)\rightarrow [/mm] 0
[mm] \limes_{\gamma\rightarrow\ 0} \bruch{sin\gamma}{\gamma} [/mm] * [mm] \bruch{cos2a}{2}
[/mm]
Nach langem hin und her nun zu meiner Frage. Bei der Grenzwertbetrachtung von [mm] \bruch {sin\gamma}{\gamma} [/mm] muss 1 rauskommen um am ende auf cosa zu kommen. Das kann ich nicht nachvollziehen. Wenn [mm] \gamma [/mm] gegen null geht hätte ich dort doch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und damit einen unbestimmten Grenzwert. Wie komme ich dort auf =1?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benbw,
Sieh mal hier.
Da wurde diese Frage auch gestellt und beantwortet.
Hilft Dir das weiter?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Benbw |
Hallo Loddar,
die Relationen aus der geometrischen Lösung sind mir nicht ganz klar aber die Lösung nach l´hospital reicht mir.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benbw!
> aber die Lösung nach l´hospital reicht mir.
Das sehe ich ein klein wenig kritisch: denn wenn Du hier Herrn de l'Hospital bemühst, verwendest Du die Ableitung des [mm] $\sin(x)$ [/mm] , welche Du ja gerade bestimmen sollst.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Benbw
> die Relationen aus der geometrischen Lösung sind mir
> nicht ganz klar
warum denn nicht ? Wo hast du da ein Problem ?
Für mich ist dieser sehr anschauliche Beweis sogar
ganz klar besser zu begreifen als ein rein algebraisch-
analytischer Beweis des Satzes von de l'Hospital !
LG , Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 04.12.2014 | | Autor: | Benbw |
Hallo,
mir waren diese Relationen am Einheitskreis nicht bekannt weswegen ich das nicht nachvollziehen konnte.
Aber auch wenn mir diese Ansätze jetzt bekannt sind wüsste ich nicht wie ich von dort zu meiner Problemstellung kommen würde wenn ich deinen Rechenweg nicht hätte.
Wäre da nie drauf gekommen.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> y=f(x)=sin(x)
>
> [mm]\bruch{\Delta y} {\Delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=\bruch{sinx-sina}{x-a}[/mm]
>
[mm] {\gamma}[/mm] [/mm] *
> [mm]\bruch{cos2a}{2}[/mm]
>
> Nach langem hin und her nun zu meiner Frage. Bei der
> Grenzwertbetrachtung von [mm]\bruch {sin\gamma}{\gamma}[/mm] muss 1
> rauskommen um am ende auf cosa zu kommen. Das kann ich
> nicht nachvollziehen. Wenn [mm]\gamma[/mm] gegen null geht hätte
> ich dort doch [mm]\bruch{0}{0}[/mm] und damit einen unbestimmten
> Grenzwert. Wie komme ich dort auf =1?
kennst Du schon die (Taylor-/Potenz-)Entwicklung von [mm] $\sin(x)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> y=f(x)=sin(x)
>
> [mm]\bruch{\Delta y} {\Delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=\bruch{sinx-sina}{x-a}[/mm]
noch ein schöner Beweis, wobei man allerdings [mm] $d/dx(\exp(i*x))=i*\exp(ix)$ [/mm] braucht [mm] ($x\,$ [/mm] reell!):
Aus
[mm] $\frac{d}{dx}\exp(i*x)=i*\exp(i*x)$
[/mm]
folgt
[mm] $\frac{d}{dx}\cos(x)+i*\frac{d}{dx}\sin(x)=i*(\cos(x)+i*\sin(x))$
[/mm]
und alsdann
[mm] $\frac{d}{dx}\cos(x)+i*\frac{d}{dx}\sin(x)=-\sin(x)+i*\cos(x)\,.$
[/mm]
Also durch Vergleich von Real- und Imaginärteil
[mm] $\cos'=-\sin$ [/mm] und [mm] $\sin'=\cos\,.$
[/mm]
P.S. Ich hatte irgendwie neulich auch noch einen elementareren Weg,
[mm] $\sin\,'$ [/mm] zu berechnen. Ich guck' mal, ob ich das auf Papier nochmal
zusammengeschrieben bekomme...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
elementar:
[mm] $\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\frac{\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}=\sin(x)*\frac{(\cos(h)-1)}{h}+\cos(x)*\frac{\sin(h)}{h}$
[/mm]
Zu [mm] $\sin(h)/h$: [/mm] Erstmal sei $h > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann können wir [mm] $h\,$ [/mm] so klein annehmen,
dass
[mm] $\sin(h) \le [/mm] h$
gilt. (Am besten einfach mal die Graphen skizzieren.)
Damit ist
[mm] $\sin(h)/h \le [/mm] 1$
und, falls existent
[mm] $\lim_{0 < h \to 0} \sin(h)/h \le [/mm] 1$
klar.
Jetzt wäre es schön, wenn man irgendwie
[mm] $\lim_{0 < h \to 0}\sin(h)/h \ge [/mm] 1$
begründen könnte.
Naja: Im Endeffekt wird das doch eher alles auf Loddars geometrische
Ideen hinauslaufen, denke ich. Oder man braucht stärkere Hilfsmittel
oder jedenfalls gewisse Kenntnisse über den Sinus-/Kosinus. Oben
muss man ja auch noch
[mm] $\frac{\cos(h)-1}{h} \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to [/mm] 0$
begründen....
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Wenn man die Additionstheoreme nicht kennt, kann man sich mit der folgenden graphischen Herleitung begnügen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:37 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Sorry, aber ich kann die Datei so nicht freigegeben. Du hast sie nicht
selbst erstellt, oder?
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
