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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Do 23.03.2006 | | Autor: | Waterman |
1.)Eine 400m lange Laufbahn aus 2 Geraden und 2 Kurven (Halbkreise) soll in einem Stadion so gebaut werden, das der Flächeninhalt des Rechteckes möglichst groß wird.
2.)Ein Fenster soll die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis haben. Welche Abmessungen muß das Fenster erhalten, damit bei einem vorgegbenen Umfang U=10m die Fensterfläche A ein Maximum wird ?
Ich weiß nicht wie ich anfangen und dann weiter rechnen soll.Falls jemand die Aufgaben lösen kann, wie es sehr nett , die aufgabe ausführlich zu schreiben, damit ich alles nach verfolgen kann. Schönen Dank für die Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 23.03.2006 | | Autor: | metzga |
Also zur 1. Aufgabe:
Zuerst muss man die Funktion für das Rechteck aufstellen:
[mm]A=2*r*g[/mm]
wobei A die Fläche des Rechtecks ist, r der Radius des Halbkreises und g die Länge der Geraden.
Die Funktion hat zwei Unbekannte, jetzt weiß man aber über den Umfang bescheid, denn dieser ist:
[mm]400=2*g+2*\pi*2*r[/mm]
Durch auflösen nach r und einsetzen in unsere Funktion A folgt:
[mm]400=2*g+2*\pi*2*r <=> r=\bruch{400-2*g}{4*\pi}
[/mm]
[mm]=>A=\bruch{400*g-2*g^2}{4*\pi}[/mm]
so jetzt ableiten:
[mm]=>A'=\bruch{1}{4*\pi}*(400-4*g)[/mm]
Ableitung gleich null setzen und auflösen:
[mm]=>A'=0 <=>g=100[/mm]
So jetzt muss noch geprüft werden ob für g=100 ein Maximum vorliegt, das macht man mit der Vorzeichen Tabelle:
für g=99 gilt: A´>0 und für g=101 gilt A´<0 => ein Maximum bei g=100.
[mm]=>r=\bruch{400-200}{4*\pi}=15,91[/mm]
[mm]=> A=2*15,91*100=3183,09[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Waterman |
Danke für die Lösung von Aufgabe 1 . Es war sehr verstänlich erklärt. Könntest Du mir bei Aufgabe 2 weiter helfen?
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Hallo!
Lies dir doch bitte mal unsere Forenregeln durch. Es ist nicht Sinn der Sache, dass wir dir alles vorrechnen. Du lernst mehr, wenn du selber mit anpackst, und der Anfang ist hier wirklich nicht schwierig.
> 2.)Ein Fenster soll die Form eines Rechteckes mit
> aufgesetztem Halbkreis haben. Welche Abmessungen muß das
> Fenster erhalten, damit bei einem vorgegbenen Umfang U=10m
> die Fensterfläche A ein Maximum wird ?
Der Umfang für ein solches "Gebilde" ist [mm] U=x+2y+\pi*\bruch{x}{2}, [/mm] wenn wir die Seiten des Rechtecks x und y nennen. Die Fläche ist [mm] A=x*y+\bruch{1}{2}*\pi*(\bruch{x}{2})^2. [/mm] Vom Umfang wissen wir, dass er =10m sein soll. Also:
[mm] x+2y+\pi*\bruch{x}{2}=10
[/mm]
Das kannst du nun nach x oder y auflösen, das "Ergebnis" setzt du in die Funktion A(x,y) ein, wodurch diese dann nur noch von einer der beiden Variablen abhängt, und dann gehst du genauso vor, wie bei der ersten Aufgabe.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:52 Sa 25.03.2006 | | Autor: | Waterman |
Hallo Bastiane,
schönen Dank für deine Hilfe.Ich habe versucht die Aufgaben selbstständig zu lösen. Erst als das nicht klappte , hab ich die Aufgaben ins Netz gestellt.
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
