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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Und direkt noch eine Aufgabe die ich nicht verstehe.
S. 24 Aufg. 7 a) (Info für Marc der das gleiche Buch hat wie ich)
Thema: Funktionenscharen
[mm]f_k(x)= x^4-kx²[/mm]
Nullstellen sind [mm]x_1[/mm]=0 v [mm]x_2[/mm]= [mm]\wurzel{k}[/mm] v [mm]x_3[/mm]=[mm]-\wurzel{k}[/mm]
Wenn k=0 dann [mm]x_1=0[/mm]
Wenn k>0 dann [mm]x_2[/mm]=[mm]\wurzel{k}[/mm] und [mm]x_3[/mm]=[mm]-\wurzel{k}[/mm]
Wenn k<0 dann keine Lösung
[mm]f'_k(x)=4x³-2kx[/mm]
Kandidaten für Extremstellen sind:
[mm]x_1=0[/mm] v [mm]x_2=\wurzel{\frac{k}{2}}[/mm] v [mm]x_3= -\wurzel{\frac{k}{2}}[/mm]
[mm]f''_k(x)=12x²-2k[/mm]
[mm]f''_k(0)[/mm]= -2k
wenn k<0 dann Tiefpunkt
wenn k>0 dann Hochpunkt
wenn k=0 dann noch keine Aussage möglich
[mm]f''_k(\wurzel{\frac{k}{2}})= 4k[/mm]
wenn k<0 dann Hochpunkt
wenn k>0 dann Tiefpunkt
wenn k=0 (Keine Ahnung. Was dann ?)
[mm]f''_k(-\wurzel{\frac{k}{2}})=4k[/mm]
wenn k<0 dann Hochpunkt (Geht das überhaupt? Denn eigentlich darf ja nichts negatives unter der Wurzel stehen.)
wenn k>0 dann Tiefpunkt
wenn k=0 (Keine Ahnung. Was dann ?)
Wendepunkte
[mm]x_1=\wurzel{\frac{k}{6}}[/mm] v [mm]x_2=-\wurzel{\frac{k}{6}}[/mm]
[mm]f'''_k(x)=24x[/mm]
Ist bis hier hin schon mal alles richtig ?
Hier komm ich dann auch nicht mehr weiter wegen den 24x. Da ist ja far kein k drin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Und direkt noch eine Aufgabe die ich nicht verstehe.
> S. 24 Aufg. 7 a) (Info für Marc der das gleiche Buch hat
> wie ich)
> Thema: Funktionenscharen
>
> [mm]f_k(x)= x^4-kx²[/mm]
> Nullstellen sind [mm]x_1[/mm]=0 v [mm]x_2[/mm]= [mm]\wurzel{k}[/mm]
> v [mm]x_3[/mm]=[mm]-\wurzel{k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn k=0 dann [mm]x_1=0[/mm]
> Wenn k>0 dann [mm]x_2[/mm]=[mm]\wurzel{k}[/mm] und [mm]x_3[/mm]=[mm]-\wurzel{k}[/mm]
Aber trotzdem gibt es ja weiterhin die Nullstelle [mm] x_1 = 0[/mm] (da dies ja unabhängig von der Wahl von k ist).
> Wenn k<0 dann keine Lösung
Hier gilt das gleiche wie zuvor, es gibt dann nur die Nullstelle [mm] x_1 = 0 [/mm].
> [mm]f'_k(x)=4x³-2kx[/mm]
> Kandidaten für Extremstellen sind:
>
> [mm]x_1=0[/mm] v [mm]x_2=\wurzel{\frac{k}{2}}[/mm] v [mm]x_3= -\wurzel{\frac{k}{2}}[/mm]
, wie sieht es hier mit Fallunterscheidungen aus? Wie bei den Nullstellen haben wir:
wenn k=0, dann [mm] x_1 = 0 [/mm] einziger Kandidat für Extremstelle
wenn k<0, dann [mm] x_1 = 0 [/mm] einziger Kandidat für Extremstelle
wenn k>0, dann drei Kandidaten.
> [mm]f''_k(x)=12x²-2k[/mm]
> [mm]f''_k(0)[/mm]= -2k
> wenn k<0 dann Tiefpunkt
> wenn k>0 dann Hochpunkt
> wenn k=0 dann noch keine Aussage möglich
> [mm]f''_k(\wurzel{\frac{k}{2}})= 4k[/mm]
> wenn k<0 dann Hochpunkt
Dieser Fall kann ja nicht eintreten (für diesen Kandidaten).
> wenn k>0 dann Tiefpunkt
> wenn k=0 (Keine Ahnung. Was dann?)
Das haben wir ja schon oben gesagt, dann noch keine Aussage möglich ist.
> [mm]f''_k(-\wurzel{\frac{k}{2}})=4k[/mm]
> wenn k<0 dann Hochpunkt (Geht das überhaupt? Denn
> eigentlich darf ja nichts negatives unter der Wurzel
> stehen.)
Genau, das geht nicht (weswegen es ja bei dem zweiten Kandidaten auch nicht geht).
> wenn k>0 dann Tiefpunkt
> wenn k=0 (Keine Ahnung. Was dann ?)
Siehe oben.
> Wendepunkte
> [mm]x_1=\wurzel{\frac{k}{6}}[/mm] v [mm]x_2=-\wurzel{\frac{k}{6}}[/mm]
> [mm]f'''_k(x)=24x[/mm]
> Ist bis hier hin schon mal alles richtig ?
Siehe oben. Es ist schon einiges richtig, sehr gut gemacht 
> Hier komm ich dann auch nicht mehr weiter wegen den 24x.
> Da ist ja far kein k drin.
Oh nein! Vorhin habe ich noch mit Youri darüber geredet, dass Schüler wahrscheinlich keine Funktionenscharen mögen, aber du, mein Schüler, gibst dich gar nicht mehr mit Ausdrücken ohne Parameter ab 
Wenn in diesem Ausdruck (also der dritten Ableitung) kein k mehr vorkommt, heißt das einfach, dass der Ausdruck (also die dritte Ableitung) für alle k identisch ist. Alle Funktionen der Schar haben also dieselbe dritte Ableitung.
Mit der dritten Ableitung überprüfen wir also jetzt noch die hinreichende Bedingung für Wendepunkte.
[mm] f'''_k(\wurzel{\frac{k}{6}}) = 24*\wurzel{\frac{k}{6}} [/mm]
[mm] f'''_k(-\wurzel{\frac{k}{6}}) = -24*\wurzel{\frac{k}{6}} [/mm]
Wenn k>0, gibt es also zwei Wendepunkte
Wenn k=0, können wir noch keine Aussage treffen (da dann [mm] f'''_k(.)=0 [/mm])
Der Fall k<0 scheidet wie oben aus, da es dann keine Wendestelle gibt.
Wie verfahren wir nun mit den Stellen, an denen die hinreichende Bedinung versagt hat? Hattet Ihr eigentlich schon die Untersuchung des Vorzeichenwechsels als hinreichende Bedingung?
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Ah jetzt weiß ich was du mit Vorzeichenwechsel meinst. Man such sich zwei Punkte die in der nähe des x z.b. des extrempunktes liegen und rechnet dann die dazugehörigen y Wert aus. Und je nachdem ob und wie sich das Vorzeichen wechselt, kann man dann bestimmen was das für ein Punkt ist.
Genau weiß ich aber nicht mehr wie man das macht.
Welchen punkt muss ich wählen und in welche funktion muss ich die x Werte einsetzten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:19 So 11.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
> Ah jetzt weiß ich was du mit Vorzeichenwechsel meinst. Man
> such sich zwei Punkte die in der nähe des x z.b. des
> extrempunktes liegen und rechnet dann die dazugehörigen y
> Wert aus. Und je nachdem ob und wie sich das Vorzeichen
> wechselt, kann man dann bestimmen was das für ein Punkt
> ist.
Ja, so ähnlich.
> Genau weiß ich aber nicht mehr wie man das macht.
> Welchen punkt muss ich wählen und in welche funktion muss
> ich die x Werte einsetzten?
Am besten, wir machen das mal direkt an einem Beispiel.
Und zwar würde ich gerne wissen, ob [mm] f_k(x) = x^4-kx^2 [/mm] an der Stelle [mm] x_1=0 [/mm] für [mm] k=0 [/mm] einen Extrempunkt hat.
[mm] f'_k(x) = 4x^3 - 2kx [/mm]
[mm] f''_k(x) = 12x^2 - 2k [/mm]
Es gilt [mm] f'_0(0) = 4*0^3-2*0*0 =0[/mm] (Notwendige Bedingung)
und [mm] f''_0(0) = 12*0^2 - 2*0 = 0 [/mm] (Hinreichende Bedingung versagt)
Also überprüfe ich den VZW von [mm] f'_0 [/mm] an der Stelle [mm] x_1 = 0 [/mm]. Und das geht so:
Ich wähle zwei Stellen [mm] a [/mm] und [mm] b [/mm] links und rechts von [mm] x_1 [/mm], so dass keine weitere Nullstelle von [mm] f'_0 [/mm] zwischen [mm] a [/mm] und [mm] b [/mm] liegt.
Da [mm] f'_0 [/mm] nur eine einzige Nullstelle hat (für k=0), können wir nicht viel falsch machen, ich wähle [mm] a=-1 [/mm] und [mm] b=1 [/mm].
Jetzt sehe ich mir die Vorzeichen von [mm] f'_0(a) [/mm] und von [mm] f'_0(b) [/mm] an:
[mm] f'_0(a) = f'_0(-1) = -4 [/mm]
[mm] f'_0(a) = f'_0(1) = +4 [/mm]
Offensichtlich sind die Vorzeichen verschieden, [mm] f'_0 [/mm] wechselt also an der Stelle [mm] x_1=0 [/mm] ihr Vorzeichen, und zwar von negativ nach positiv.
Kannst du dir einen Kurvenverlauf von [mm] f_0 [/mm] vorstellen, bei dem wir an einer Stelle keine Steigung ([mm] f'_0(0) = 0 [/mm]) haben, links der Stelle eine fallende und rechts von ihr eine steigende? Das ist das Erkennungsmerkmal eines relativen Minimums!
Ein umgekehrter VZW wäre das Kriterium für ein relatives Maximum.
Wendepunkte:
Statt der bekannten hinreichenden Bedingung vermöge der dritten Ableitung kann man auch bei der Wendestellenberechnung den VZW der zweiten Ableitung an einer Kandidaten-Stelle nachweisen. Hier kommt es dann aber nicht auf die Wechselrichtung an (also von +/- oder -/+), sondern nur, dass es einen VZW gibt.
Alles klar soweit?
Immer für Sie da,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 11.01.2004 | | Autor: | Logan |
jo soweit klar. Danke schön.
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