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Wenn man den Differenzenquotienten bildet für die Funktion f(x)=x dann gibt es am Schluss (x+h-x)/h und da lim h gegen 0 strebt werden die h´s zu 0.
Dann hätten wir unter dem Bruch eine 0 und oben hätten wir auch noch die x´s die sich gegenseitig eliminieren... Wie kommt so auf "1"?
2.Frage zur Produkteregel
Wir haben die Funktion f(x)=u(x)*v(x) . Um die Produkteregel herzuleiten wird die Funktion nun an der Stelle x0 abgeleitet. Wie ihr auf dem folgenden Bild zuoberst erkennen könnt, wird ein gewisser Term addiert UND wieder subtrahiert. Ich verstehe nicht warum.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo blackkilla,
Dein Anhang mussten wir leider sperren, weil er das Urheberrecht verletzt (Buchseite). Wenn du also konkrete Fragen zu solchen Buchabschnitten hast, musst du die wohl oder übel abtippen...
> Wenn man den Differenzenquotienten bildet für die Funktion
> f(x)=x dann gibt es am Schluss (x+h-x)/h und da lim h gegen
> 0 strebt werden die h´s zu 0.
>
> Dann hätten wir unter dem Bruch eine 0 und oben hätten
> wir auch noch die x´s die sich gegenseitig eliminieren...
> Wie kommt so auf "1"?
Weil am Ende gar keine h's mehr vorkommen:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{x+h-h}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{h}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}1 [/mm] = 1$.
Verstehst du? h/h kürzt sich natürlich, da ist es völlig egal ob nachher noch h gegen 0 geht. Du kannst dir aber selbst dann klar machen, dass 1 rauskommen: Im Zähler und Nenner steht ja IMMER dasselbe.
> 2.Frage zur Produkteregel
>
> Wir haben die Funktion f(x)=u(x)*v(x) . Um die
> Produkteregel herzuleiten wird die Funktion nun an der
> Stelle x0 abgeleitet. Wie ihr auf dem folgenden Bild
> zuoberst erkennen könnt, wird ein gewisser Term addiert
> UND wieder subtrahiert. Ich verstehe nicht warum.
Das ist ein "Trick" (Man addiert praktisch 0, weil man etwas addiert, was man gleich wieder abzieht). Man macht das manchmal, damit am Ende genau das dasteht, was man gern hätte. In diesem Fall kannst du ja am Ergebnis bzw. am weiteren Beweis sehen, warum man das gemacht hat.
Wie man darauf kommt, willst du vielleicht noch wissen - ja, da muss man eben drauf kommen, mehr kann man dazu nicht sagen 
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank für die prompte Antwort. Ok die 2.Frage ist nun klar. Ich nehme mal an deine Erklärung reicht mir, wenn mich meine Lehrerin fragt, wieso ich das tue und wieso ausgerechnet dieses Term.
Ja jetzt ist es logisch^^ Hab wieder mal zu weit gesucht. Aber z.B. bei [mm] (x^2+2xh+h^2-x^2)/h=2x [/mm]
Ist das hier so dass die [mm] x^2 [/mm] sich gegenseitig eliminieren und ich dann alle h streichen kann, also auch im 2xh? Wäre es theoretisch nicht 2*x*0?
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Hallo blackkilla,
> Vielen Dank für die prompte Antwort. Ok die 2.Frage ist
> nun klar. Ich nehme mal an deine Erklärung reicht mir,
> wenn mich meine Lehrerin fragt, wieso ich das tue und wieso
> ausgerechnet dieses Term.
>
> Ja jetzt ist es logisch^^ Hab wieder mal zu weit gesucht.
> Aber z.B. bei [mm](x^2+2xh+h^2-x^2)/h=2x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Gleichheit gilt doch nicht.
>
> Ist das hier so dass die [mm]x^2[/mm] sich gegenseitig eliminieren
> und ich dann alle h streichen kann, also auch im 2xh? Wäre
> es theoretisch nicht 2*x*0?
Die obige "Gleichheit" ergibt sich erst im Grenzprozess [mm] $h\to [/mm] 0$
Du hast die Fkt. [mm] $f(x)=x^2$
[/mm]
Dann ist die Steigung an einer bel. Stelle $x$:
[mm] $\red{f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}$
[/mm]
Nun kannst du im Zähler $h$ ausklammern und es gegen das h im Nenner wegballern und danach gefahrlos [mm] $h\to [/mm] 0$ laufen lassen ...
Damit ergibt sich dann $f'(x)=2x$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Sa 02.01.2010 | | Autor: | blackkilla |
Sorry ja das lim hab ich vergessen. Super das wär erledigt. Vielen vielen Dank.
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