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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 So 20.01.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Machen Sie durch Angabe eines maximalen Definitionsbereiches aus folgenden Termen differenzierbare, reelle Funktionen und leiten Sie sie ab:
a) [mm] log(x^4 [/mm] exp(7x))
b) [mm] x^x [/mm] |
Hallo,
also ich weiß ja was an sich der maximale Definitonsbereich ist (alle Werte die eingesetzt werden können, ohne das mathematische Regeln verletzt werden, wie z.B. das dividieren durch 0 etc.). Aber bei den beiden Formeln komme ich irgendwie nicht weiter. Genauso mit den Ableitungen.
Bei b) habe ich mir zu der Ableitung überlegt, ob das im Prinzip ist wie bei [mm] x^n, [/mm] da wäre die Ableitung ja [mm] nx^{n-1}. [/mm] Wäre die Ableitung von [mm] x^x [/mm] dann [mm] xx^{x-1}? [/mm] Ich weiß grad echt nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand dabei ein wenig helfen?
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Hallo chipbit,
bei (a) bedenke, dass der [mm] $\log$ [/mm] nur für positive Argumente definiert ist.
Hier ist das Argument [mm] $x^4\cdot{}e^{7x}$.
[/mm]
Das ist für alle [mm] x\neq [/mm] 0 sicher >0, denn [mm] x^4>0 [/mm] und [mm] e^{(...)} [/mm] sowieso
Also ist das Ding [mm] $\log\left(x^4\cdot{}e^{7x}\right)$ [/mm] definiert für [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$
[/mm]
Die Ableitung kannst du mit der Kettenregel machen, das ist nicht wild, es kürzt sich nachher vieles weg.
Bei der (b) kannst du das nicht nach dem Prinzip wie bei [mm] $x^n$ [/mm] ableiten, wo n eine feste Zahl ist
Denke hier an die Definition der allg. Potenz [mm] $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Wenn du so das [mm] $x^x$ [/mm] umschreibst, fällt dir direkt was zum Definitionsbereich und zur Ableitung ein 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 So 20.01.2008 | | Autor: | chipbit |
Wäre bei b) dann die Ableitung [mm] e^{xlnx} [/mm] ? Und der Definitonsbereich wäre dann ja wegen dem lnx D={x [mm] \in \IR [/mm] |x>0} ? Oder?
Mh, zu a) habe ich aber noch eine Frage, die Kettenregel ist mir an sich ja klar, die Ableitung für [mm] log_a [/mm] x ist als [mm] \bruch{1}{ln_a} \bruch{1}{x} [/mm] definiert? Was ist denn hier jetzt aber a?
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Hallo nochmal,
ist das nicht der 10er Logarithmus?
Aber ist ja egal, du bekommst doch bloß eine mögliche zusätzliche multiplikative Konstante:
Wenn du's in den [mm] $\ln$ [/mm] umrechnest, hast du [mm] $\log\left(x^4\cdot{}e^{7x}\right)=\frac{\ln\left(x^4\cdot{}e^{7x}\right)}{\ln(10)}=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\ln\left(x^4\cdot{}e^{7x}\right)$
[/mm]
Bei der Ableitung bleibt das [mm] $\frac{1}{\ln(10)}$ [/mm] dann als mult. Konstante
Bei Bedarf ersetze 10 durch a
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 So 20.01.2008 | | Autor: | chipbit |
ah okay...war das, was ich für [mm] x^x [/mm] geschrieben hatte denn richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 20.01.2008 | | Autor: | chipbit |
Also wäre die Ableitung dann: [mm] x^x \mdot(lnx+1) [/mm] ? oder hab ich das wieder falsch gemacht?
Ich hab noch allgemein die Frage, ich weiß das die Ableitung von [mm] (e^x)'= e^x [/mm] ist. Wie is das bei [mm] e^{7x} [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 So 20.01.2008 | | Autor: | chipbit |
Okay Danke!
Dann wäre die Ableitung für [mm] (log(x^4 e^{7x}))'= \bruch{1}{ln(10)} \bruch{1}{x^4 e^{7x}} 4x^3 7e^{7x} =\bruch{1}{ln(10)} \bruch{28}{x} [/mm] nicht wahr?
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Hi chipbit,
nicht ganz, bedenke, dass du die innere Ableitung [mm] $\left[x^4\cdot{}e^{7x}\right]'$ [/mm] mit der Produktregel angehen musst....
Aber es ist nahe dran !!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mo 21.01.2008 | | Autor: | chipbit |
ach jaaa, *vorn Kopf klatsch*...mh...*rechne*
dann komm ich, in der Hoffnung nicht wieder was falsch gemacht zu haben, auf: [mm] \bruch{1}{ln(10)} \bruch{(4x^3+7x^4)}{x^4}
[/mm]
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Hallo,
> ach jaaa, *vorn Kopf klatsch*...mh...*rechne*
> dann komm ich, in der Hoffnung nicht wieder was falsch
> gemacht zu haben, auf: [mm]\bruch{1}{ln(10)} \bruch{(4x^3+7x^4)}{x^4}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] $=\frac{1}{\ln(10)}\cdot{}\left(\frac{4}{x}+7\right)$
[/mm]
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Mo 21.01.2008 | | Autor: | chipbit |
ah super! Danke für die Geduld und Hilfe! :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo chipbit!
Ein Tipp, um sich hier die Ableitungsarbeit wesentlich zu erleichtern ... verwende zunächst eines der  Logarithmusgesetze und forme um:
[mm] $$\log\left(x^4*e^{7x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(x^4\right)+\log\left(e^{7x}\right) [/mm] \ = \ [mm] 4*\log(x)+7x*\log(e)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: wie ist denn bei euch [mm] $\log(...)$ [/mm] definiert? Als natürlicher Logaritmus zur Basis $e_$ : [mm] $\log(x) [/mm] \ := \ [mm] \log_e(x)$ [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 21.01.2008 | | Autor: | chipbit |
Vielen Dank für den Tipp! :)
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
- voll übersehen ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
