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| Aufgabe | Es sei [mm]F_n:\{0,1,...,n\} \to \IR[/mm] eine Funktionenfolge mit [mm]F_n([t\cdot n]) \to F(t)[/mm] ([mm]n\to \infty[/mm]) und einer (f.ü.) differenzierbaren Funktion [mm]F:[0,1] \to \IR[/mm].
Unter welchen Bedingungen gilt:
[mm] $\frac{F_n([n\cdot t]) - F_n\left([n\cdot \left(t - \frac{1}{n}\right)]\right)}{\frac{1}{n}} \to [/mm] F'(t)$. ([mm]n\to\infty[/mm])
(Die eckigen Klammern sind Gauß-Klammern für "Abrunden")
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Hallo!
während meiner Arbeit bin ich auf dieses Problem gestoßen.
"Intuitiv" stimmt die Behauptung ja, es wird aber eben gleichzeitig der Grenzwert von Differenzenquotient und Funktionenfolge gebildet.
Kennt jemand von euch Regeln, wann solch eine Behauptung gilt (Schön wäre z.B. wenn oben genannte Bedingung der Diffbarkeit schon ausreichend würde)? Mit Polynomen als Grenzfunktion [mm]F[/mm] scheint es ganz normal zu funktionieren: Wenn ich zum Beispiel
[mm]F_n(t) = \frac{t}{n}[/mm]
wähle, gilt ja
[mm]F_n([t \cdot n]) = \frac{[n \cdot t]}{n} \to t =: F(t)[/mm],
und auch
[mm]\frac{F_n([t \cdot n]) - F_n([t \cdot n]-1)}{\frac{1}{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 = F'(t)[/mm].
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Di 09.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo steppenhahn,
> Es sei [mm]F_n:\{0,1,...,n\} \to \IR[/mm] eine Funktionenfolge mit
> [mm]F_n([t\cdot n]) \to F(t)[/mm] ([mm]n\to \infty[/mm]) und einer (f.ü.)
> differenzierbaren Funktion [mm]F:[0,1] \to \IR[/mm].
Ich nehme mal an, [mm] $F_n([t\cdot [/mm] n]) [mm] \to [/mm] F(t)$ ([mm]n\to \infty[/mm]) soll für alle [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] gelten und nicht nur für ein festes [mm] $t\in[0,1]$?
[/mm]
> Unter welchen Bedingungen gilt:
>
> [mm]\frac{F_n([n\cdot t]) - F_n\left([n\cdot \left(t - \frac{1}{n}\right)]\right)}{\frac{1}{n}} \to F'(t)[/mm].
> ([mm]n\to\infty[/mm])
Notwendig ist schonmal $t>0$ (sonst macht die linke Seite nicht Sinn für genügend großes n) und die Differenzierbarkeit von $F$ an der Stelle $t$.
Die Differenzierbarkeit von $F$ ist nicht hinreichend für die gewünschte Grenzwertaussage: Betrachte dazu etwa eine beliebige differenzierbare Funktion [mm] $F\colon[0,1]\to\IR$ [/mm] und
[mm] $F_n(m):=\begin{cases} F(\bruch{m}{n}), & \mbox{für } m
für $n>0$. Dann sind die Voraussetzungen erfüllt, aber die gewünschte Konvergenzaussage ist an der Stelle $t=1$ verletzt.
Ich vermute, es wird schwierig sein, hinreichende Bedingungen für die gewünschte Grenzwertfolgerung zu finden. Für den Fall, dass dennoch jemand eine Idee hat, lasse ich die Frage als nur teilweise beantwortet markiert.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobit09,
danke für deinen Einwand 
Ja, die Konvergenz in der Voraussetzung soll für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ gelten.
> > Unter welchen Bedingungen gilt:
> >
> > [mm]\frac{F_n([n\cdot t]) - F_n\left([n\cdot \left(t - \frac{1}{n}\right)]\right)}{\frac{1}{n}} \to F'(t)[/mm].
> > ([mm]n\to\infty[/mm])
(*)
> Notwendig ist schonmal [mm]t>0[/mm] (sonst macht die linke Seite
> nicht Sinn für genügend großes n) und die
> Differenzierbarkeit von [mm]F[/mm] an der Stelle [mm]t[/mm].
> Die Differenzierbarkeit von [mm]F[/mm] ist nicht hinreichend für
> die gewünschte Grenzwertaussage: Betrachte dazu etwa eine
> beliebige differenzierbare Funktion [mm]F\colon[0,1]\to\IR[/mm] und
>
> [mm]F_n(m):=\begin{cases} F(\bruch{m}{n}), & \mbox{für } m
>
> für [mm]n>0[/mm]. Dann sind die Voraussetzungen erfüllt, aber die
> gewünschte Konvergenzaussage ist an der Stelle [mm]t=1[/mm]
> verletzt.
(**)
Da hast du recht....
Wenn ich fordere, dass (*) nicht an den Rändern und nur f.s. gelten muss (also nur für $t [mm] \in [/mm] (0,1)$ f.s.) , siehst du dann ein ähnliches Gegenbeispiel?
Wenn man fordert, dass F differenzierbar ist, kann man ja durch Konstruktionen wie (**) nur abzählbar viele Problemstellen erhalten, oder?
Ich hatte Hoffnung, dass ein Aussage in dieser Form gelten könnte, weil die Voraussetzungen relativ stark sind. Immerhin hat jedes Funktionenfolgenglied ja nur endlichen Definitionsbereich und die Funktionen [mm] $F_n([n\cdot [/mm] t])$ sind somit ja relativ einfach (Stufenfunktionen).
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:31 Mi 10.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Unter welchen Bedingungen gilt:
> > >
> > > [mm]\frac{F_n([n\cdot t]) - F_n\left([n\cdot \left(t - \frac{1}{n}\right)]\right)}{\frac{1}{n}} \to F'(t)[/mm].
>
> > > ([mm]n\to\infty[/mm])
>
> (*)
> > [mm]F_n(m):=\begin{cases} F(\bruch{m}{n}), & \mbox{für } m
> (**)
> Wenn ich fordere, dass (*) nicht an den Rändern und nur
> f.s. gelten muss (also nur für [mm]t \in (0,1)[/mm] f.s.) , siehst
> du dann ein ähnliches Gegenbeispiel?
>
> Wenn man fordert, dass F differenzierbar ist, kann man ja
> durch Konstruktionen wie (**) nur abzählbar viele
> Problemstellen erhalten, oder?
Leider lässt sich das Gegenbeispiel auch so abwandeln, dass (*) für kein [mm] $t\in(0,1]$ [/mm] gilt:
Sei jetzt
$F(t):=t$
(funktioniert auch mit jeder anderen stetig differenzierbaren Funktion F, aber so ist es einfacher einzusehen, dass ein Gegenbeispiel vorliegt) und
[mm] $F_n(m):=F(\bruch{m}{n})+(-1)^m\bruch1n$.
[/mm]
Ich überlasse es dir, nachzuprüfen, dass tatsächlich ein Gegenbeispiel vorliegt.
> Ich hatte Hoffnung, dass ein Aussage in dieser Form gelten
> könnte, weil die Voraussetzungen relativ stark sind.
> Immerhin hat jedes Funktionenfolgenglied ja nur endlichen
> Definitionsbereich und die Funktionen [mm]F_n([n\cdot t])[/mm] sind
> somit ja relativ einfach (Stufenfunktionen).
Aber mit [mm] $F_n([t*n])-F_n([(t-\bruch1n)*n])$ [/mm] betrachtest du ja ausschließlich ausgerechnet die (gerichtete) "Sprunghöhe" dieser Funktionen [mm] $t\mapsto F_n([t*n])$ [/mm] an deren UNSTETIGKEITSSTELLEN.
Ersetzen wir mal [mm] $t\mapsto F_n([t*n])$ [/mm] durch Funktionen [mm] $G_n\colon[0,1]\to\IR$ [/mm] und fordern [mm] $G_n\to [/mm] F$ punktweise für [mm] $n\to\infty$ [/mm] (F wieder eine differenzierbare Funktion). Unter welchen Bedingungen gilt
[mm] $\bruch{G_n(t)-G_n(t-\bruch1n)}{\bruch1n}\to [/mm] F'(t)$ für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Wenn die [mm] $G_n$ [/mm] differenzierbar sind, $F$ stetig differenzierbar ist und die [mm] $G_n'$ [/mm] gleichmäßig gegen $F'$ konvergieren, kann man mit einem Mittelwertsatz-der-Differenzialrechnung-Argument zeigen, dass dies tatsächlich gilt. Beachte, dass wir dafür die gleichmäßige Konvergenz der ABLEITUNGEN, nicht der Funktionen selbst, brauchen.
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