Differentiation im R^n < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mo 17.10.2011 | | Autor: | volk |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2\to\IR^2; \vektor{x \\ y}\mapsto\vektor{y*sin(x) \\ e^{xy}+cos(x)}
[/mm]
(a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung und die totale Ableitung von f
(b) Berechne die Richtungsableitung von f in Richtung des Vektors [mm] v=\vektor{1\\-1}.
[/mm]
(c) Berechne die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f. |
Hallo,
ich wollte nur mal ein Feedback haben, ob das was ich gerechnet habe richtig ist. Es soll gar nicht nachgerechnet werden, ich möchte nur wissen, ob der Rechenweg richtig ist.
(a)
partiellen Ableitungen erster Ordnung:
[mm] \bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}x}=\bruch{{\partial}}{{\partial}x}y*sin(x)=y*cos(x)
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f_{2}}{{\partial}x}=\bruch{{\partial}}{{\partial}x}e^{xy}+cos(x)=ye^{xy}-sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}y}=sin(x)
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}y}=xe^{xy}
[/mm]
totale Ableitung:
[mm] f'(x,y)=\pmat{ y*cos(x) & sin(x) \\ ye^{xy}-sin(x) & xe^{xy} }
[/mm]
(b)
[mm] f(\vektor{x\\y}+t*\vektor{1\\-1})=f(x+t,y-t)=\vektor{(y-t)sin(x+t)\\e^{xy-xt+yt-t^2}+cos(x+t)}
[/mm]
[mm] \bruch{{\partial}f}{{\partial}t}={\vektor{-sin(x+t)+(y-t)cos(x+t)\\(-x+y-2t)e^{xy-xt+yt-t^2}-sin(x+t)}|}_{t=0} ={\vektor{-sin(x)+y*cos(x)\\(-x+y)e^{xy}-sin(x)}}
[/mm]
(c)
wie (a) nur jeweils noch einmal ableiten
Grüße
volk
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Hallo volk,
> [mm]f:\IR^2\to\IR^2; \vektor{x \\ y}\mapsto\vektor{y*sin(x) \\ e^{xy}+cos(x)}[/mm]
>
> (a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung
> und die totale Ableitung von f
> (b) Berechne die Richtungsableitung von f in Richtung des
> Vektors [mm]v=\vektor{1\\-1}.[/mm]
> (c) Berechne die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
> von f.
> Hallo,
> ich wollte nur mal ein Feedback haben, ob das was ich
> gerechnet habe richtig ist. Es soll gar nicht nachgerechnet
> werden, ich möchte nur wissen, ob der Rechenweg richtig
> ist.
>
> (a)
> partiellen Ableitungen erster Ordnung:
>
> [mm]\bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}x}=\bruch{{\partial}}{{\partial}x}y*sin(x)=y*cos(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{{\partial}f_{2}}{{\partial}x}=\bruch{{\partial}}{{\partial}x}e^{xy}+cos(x)=ye^{xy}-sin(x)[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}y}=sin(x)[/mm]
> [mm]\bruch{{\partial}f_{1}}{{\partial}y}=xe^{xy}[/mm]
>
> totale Ableitung:
> [mm]f'(x,y)=\pmat{ y*cos(x) & sin(x) \\ ye^{xy}-sin(x) & xe^{xy} }[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b)
>
> [mm]f(\vektor{x\\y}+t*\vektor{1\\-1})=f(x+t,y-t)=\vektor{(y-t)sin(x+t)\\e^{xy-xt+yt-t^2}+cos(x+t)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{{\partial}f}{{\partial}t}={\vektor{-sin(x+t)+(y-t)cos(x+t)\\(-x+y-2t)e^{xy-xt+yt-t^2}-sin(x+t)}|}_{t=0} ={\vektor{-sin(x)+y*cos(x)\\(-x+y)e^{xy}-sin(x)}}[/mm]
>
Schau Dir nochmal die Definition der ![[]](/images/popup.gif) Richtungsableitung an.
> (c)
>
> wie (a) nur jeweils noch einmal ableiten
>
>
> Grüße
> volk
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 17.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo MathePower,
ich bin gerade etwas verwirrt. Die Definition, die ich benutzt habe, steht auf der Wikipediaseite.
Gruß
volk
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Hallo volk,
> Hallo MathePower,
> ich bin gerade etwas verwirrt. Die Definition, die ich
> benutzt habe, steht auf der Wikipediaseite.
>
Etwas gewöhnungsbedürftig ist das schon,
was Du da geschrieben hast, aber es stimmt.
> Gruß
> volk
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mo 17.10.2011 | | Autor: | volk |
Vielen Dank,
ich musste mich auch erst daran gewöhnen. Wir müssen es bei dem Professor leider so rechnen...
Grüße
volk
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